Soluzioni
  • Sebbene la definizione di integrale di Riemann e quella di funzione integrabile secondo Riemann siano di più ampio respiro, qui ci limiteremo a considerare funzioni continue su intervalli chiusi e limitati: pretese che hanno lo scopo di semplificare l'esposizione di un argomento piuttosto "tecnico".

    Integrale di una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato

    Partiamo dall'intervallo [a,b] e decomponiamolo in n sottointervalli di ampiezza h=\frac{b-a}{n}

    [a=x_0, x_1], \ [x_1,x_2],\ ..., \ [x_{n-1},x_{n}=b]

    dove i vari x_{i} sono detti nodi della decomposizione e sono definiti da:

    x_i=a+i\cdot h=a+\frac{i (b-a)}{n} \\ \\ \\ \mbox{con} \ i\in\{0,1,2,...,n\}

    Sia f(x) una funzione continua sull'intervallo [a,b]. Su ciascun sottointervallo [x_{i-1},x_{i}], con i\in \{1,2,...,n\}, indichiamo con m_i\ \mbox{e} \ M_i rispettivamente minimo e massimo assoluti di f(x), che esistono sicuramente per via del teorema di Weierstrass.

    \\ m_i=\min_{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ M_{i}=\max_{x\in[x_{i-1},x_{i}]}f(x) \\  \\ \\ \mbox{con} \ i\in\{1,2,...,n\}

    Con questi valori, siamo in grado di costruire due numeri reali s_{n}(f) \ \mbox{e} \ S_{n}(f)

    \\ s_{n}(f)=m_1h+m_2h+...+m_nh=\\ \\ =(m_1+m_2+...+m_n)h=h\sum_{i=1}^{n}m_{i}

    detta somma inferiore di Riemann,

    \\ S_{n}(f)=M_1h+M_2h+...+M_nh=\\ \\ =(M_1+M_2+...+M_n)h=h\sum_{i=1}^{n}M_{i}

    detta invece somma superiore di Riemann.

    All'aumentare di n, l'ampiezza dei sottointervalli h tende a diventare via via più piccola, e sfruttando la continuità di f(x), si può dimostrare che il limite per n\to +\infty delle somme inferiori esiste finito e coincide con il limite per n\to+\infty delle somme superiori

    \lim_{n\to+\infty}s_{n}(f)=\lim_{n\to+\infty}S_{n}(f)

    Il numero dato dai limiti è per definizione l'integrale definito di f(x) riferito all'intervallo [a,b] e si indica con il simbolo matematico

    \int_{a}^{b}f(x)\,dx

    dove a\ \mbox{e} \ b sono l'estremo inferiore e l'estremo superiore dell'intervallo [a,b], f(x) è la funzione integranda (gerundivo latino traducibile con ciò che dev'essere integrato), mentre il simbolo dx ha il compito di mettere in chiaro la variabile secondo cui stiamo integrando.

    Il simbolo \int_{a}^{b}f(x)\,dx si legge come integrale da a a b di f(x) in dx. Attenzione a non invertire l'ordine di lettura degli estremi: prima l'estremo inferiore poi l'estremo superiore.

    Esempio: calcolo dell'integrale definito

    Calcoliamo l'integrale definito della funzione f(x)=2x sull'intervallo [0,1].

    Per prima cosa fissiamo n\in\mathbb{N}-\{0\}, definiamo h

    h=\frac{b-a}{n}=\frac{1}{n}

    e costruiamo i nodi della decomposizione

    \\ x_i=a+i h=\frac{i}{n} \\ \\ \\ \mbox{con} \ i\in\{0,1,2,...,n\}

    Osserviamo che f(x)=2x è una funzione crescente su ciascun intervallo [x_{i-1},x_i] , per cui avrà minimo assoluto per x=x_{i-1} e massimo assoluto per x=x_{i}

    \\ m_{i}=\min_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x)=f(x_{i-1})=2x_{i-1}=2\cdot\frac{i-1}{n} \\ \\ \\ M_{i}=\max_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x)=f(x_i)=2x_i=2\cdot\frac{i}{n}

    Costruiamo le somme inferiori

    \\ s_{n}(f)=h\sum_{i=1}^{n}m_i=\\ \\ \\ =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}2\cdot\frac{i-1}{n}=

    e usiamo le proprietà delle sommatorie per trasportare i fattori che non dipendono dall'indice fuori dal simbolo

    =\frac{2}{n^2}\sum_{i=1}^{n}(i-1)=\frac{2}{n^2}\left(\sum_{i=1}^{n}i-\sum_{i=1}^{n}1\right)

    La somma dei primi n numeri naturali è nota e vale

    \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2} \ \ \ \forall n\in\mathbb{N}-\{0\}

    inoltre di n uno coincide con n

    \sum_{i=1}^{n}1=n

    pertanto

    \\ \frac{2}{n^2}\left(\sum_{i=1}^{n}i-\sum_{i=1}^{n}1\right)=\frac{2}{n^2}\left[\frac{n(n+1)}{2}-n\right]=\\ \\ \\ =\frac{n-1}{n}

    Esplicitiamo con lo stesso principio le somme superiori

    \\ S_{n}(f)=h\sum_{i=1}^{n}M_i= \\ \\ \\ =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}2\cdot\frac{i}{n}= \\ \\ \\ =\frac{2}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i=\frac{2}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}=\\ \\ \\ =\frac{n+1}{n}

    In definitiva le somme inferiori e le somme superiori valgono rispettivamente

    s_n(f)=\frac{n-1}{n} \ \ \ , \ \ \ S_{n}(f)=\frac{n+1}{n}

    Calcoliamo i limiti per n\to +\infty delle due espressioni

    \\ \lim_{n\to+\infty}s_n(f)=\lim_{n\to+\infty}\frac{n-1}{n}=1 \\ \\ \\ \lim_{n\to+\infty}S_{n}(f)=\lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n}=1

    e concludiamo che l'integrale di f(x)=2x sull'intervallo [0,1] vale 1.

    \int_{0}^{1}2x\,dx=1

    Legame tra integrale definito e indefinito

    Sia chiaro che se l'espressione analitica della funzione è più elaborata, diventa praticamente impossibile usare la definizione per calcolare l'integrale definito, perché magari non siamo in grado scrivere in forma chiusa le somme inferiori e superiori.

    Interviene il teorema fondamentale del calcolo integrale che lega il concetto di integrale definito a quello di integrale indefinito e grazie al quale potremo calcolare l'integrale di una funzione usando l'uguaglianza

    \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)

    dove F(x) è una qualsiasi primitiva di f(x) su [a,b].

    Risposta di Ifrit
 
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