Definizione di integrale definito di una funzione continua su un intervallo

Sebbene la definizione di integrale di Riemann e quella di funzione integrabile secondo Riemann siano di più ampio respiro, qui ci limiteremo a considerare funzioni continue su intervalli chiusi e limitati: pretese che hanno lo scopo di semplificare l'esposizione di un argomento piuttosto "tecnico".

Integrale di una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato

Partiamo dall'intervallo e decomponiamolo in sottointervalli di ampiezza

dove i vari sono detti nodi della decomposizione e sono definiti da:

Sia una funzione continua sull'intervallo . Su ciascun sottointervallo , con , indichiamo con rispettivamente minimo e massimo assoluti di , che esistono sicuramente per via del teorema di Weierstrass.

Con questi valori, siamo in grado di costruire due numeri reali

detta somma inferiore di Riemann,

detta invece somma superiore di Riemann.

All'aumentare di , l'ampiezza dei sottointervalli tende a diventare via via più piccola, e sfruttando la continuità di , si può dimostrare che il limite per delle somme inferiori esiste finito e coincide con il limite per delle somme superiori

Il numero dato dai limiti è per definizione l'integrale definito di riferito all'intervallo e si indica con il simbolo matematico

dove sono l'estremo inferiore e l'estremo superiore dell'intervallo , è la funzione integranda (gerundivo latino traducibile con ciò che dev'essere integrato), mentre il simbolo dx ha il compito di mettere in chiaro la variabile secondo cui stiamo integrando.

Il simbolo si legge come integrale da a di in . Attenzione a non invertire l'ordine di lettura degli estremi: prima l'estremo inferiore poi l'estremo superiore.

Esempio: calcolo dell'integrale definito

Calcoliamo l'integrale definito della funzione sull'intervallo .

Per prima cosa fissiamo , definiamo

e costruiamo i nodi della decomposizione

Osserviamo che è una funzione crescente su ciascun intervallo , per cui avrà minimo assoluto per e massimo assoluto per

Costruiamo le somme inferiori

e usiamo le proprietà delle sommatorie per trasportare i fattori che non dipendono dall'indice fuori dal simbolo

La somma dei primi numeri naturali è nota e vale

inoltre di uno coincide con

pertanto

Esplicitiamo con lo stesso principio le somme superiori

In definitiva le somme inferiori e le somme superiori valgono rispettivamente

Calcoliamo i limiti per delle due espressioni

e concludiamo che l'integrale di sull'intervallo vale .

Legame tra integrale definito e indefinito

Sia chiaro che se l'espressione analitica della funzione è più elaborata, diventa praticamente impossibile usare la definizione per calcolare l'integrale definito, perché magari non siamo in grado scrivere in forma chiusa le somme inferiori e superiori.

Interviene il teorema fondamentale del calcolo integrale che lega il concetto di integrale definito a quello di integrale indefinito e grazie al quale potremo calcolare l'integrale di una funzione usando l'uguaglianza

dove è una qualsiasi primitiva di su .