Soluzioni
  • Prima di applicare la regola di Ruffini per tentare di scomporre il polinomio

    P(x)=0,2x^2+0,9x+0,7

    bisogna esprimere i numeri decimali nelle rispettive controparti frazionarie: in altri termini calcoleremo le frazioni generatrici associate a ciascun numero

    0,2=\frac{2}{10} \ \ \ ,\ \ \ 0,9=\frac{9}{10} \ \ \ , \ \ \ 0,7=\frac{7}{10}

    Siamo autorizzati a riscrivere il polinomio P(x) nella forma

    \\ P(x)=\frac{2}{10}x^2+\frac{9}{10}x+\frac{7}{10}= \\ \\ \\ =\frac{2x^2+9x+7}{10}=\frac{1}{10}(2x^2+9x+7)

    Invece di usare la regola di Ruffini su P(x), la applicheremo sul polinomio a coefficienti interi

    P_1(x)=2x^2+9x+7

    Il nostro obiettivo diventa quello di determinare una radice razionale del polinomio P_1(x) che si presenterà nella forma \frac{p}{q} dove:

    - il numeratore p è un divisore intero del termine noto 7;

    - il denominatore q è un divisore intero del coefficiente direttivo 2;

    Elenchiamo quindi i divisori interi di 7

    \mbox{Divisori interi di }7=\{\pm 1, \ \pm 7\}

    e i divisori interi di 2

    \mbox{Divisori interi di }2=\{\pm 1, \ \pm 2\}

    dopodiché costruiamo l'insieme delle frazioni aventi per numeratore un divisore di 7 e per denominatore un divisore di 2

    \left\{\pm 1,\ \pm 7, \ \pm\frac{1}{2}, \ \pm\frac{7}{2}\right\}

    Tra questi valori si potrebbe nascondere una radice che consente di innescare il metodo: procedendo per tentativi, scopriamo che il numero di Ruffini è x=-1, infatti

    P_{1}(-1)=2\cdot (-1)^2+9\cdot (-1)+7=2-9+7=0

    In accordo con la teoria, P_1(x) si decompone come prodotto tra il binomio x-\mbox{radice} e un polinomio Q(x) da determinare, in formule matematiche:

    P_{1}(x)=(x-(-1))Q(x)=(x+1)Q(x)

    Per poter determinare i coefficienti di Q(x) impostiamo la tipica tabella di Ruffini secondo le seguenti indicazioni:

    - riportiamo in alto e tra le due barre verticali i coefficienti di P_1(x), avendo premura di inserire il suo termine noto dopo la seconda linea verticale;

    - riportiamo la radice razionale sopra la linea orizzontale e prima della linea verticale di sinistra.

    Se abbiamo seguito le regole, la tabella è:

    \begin{array}{c|cccc|c}&2&&&9&7\\ &&&&& \\ -1&&&&& \\ \hline &&&&&\end{array}

    Iniziamo abbassando il 2

    \begin{array}{c|cccc|c}&2&&&9&7\\ &&&&& \\ -1&&&&& \\ \hline &2&&&&\end{array}

    moltiplichiamolo per la radice -1 e riportiamo il risultato sotto il 9

    \begin{array}{c|cccc|c}&2&&&9&7\\ &&&&& \\ -1&&&&-2& \\ \hline &2&&&&\end{array}

    Addizioniamo 9 e -2 e incolonniamo il risultato sotto la linea di separazione orizzontale

    \begin{array}{c|cccc|c}&2&&&9&7\\ &&&&& \\ -1&&&&-2& \\ \hline &2&&&7&\end{array}

    Ripetiamo il ragionamento: moltiplichiamo 7 per -1, incolonniamo il prodotto sotto il 7 e infine sommiamo i termini

    \begin{array}{c|cccc|c}&2&&&9&7\\ &&&&& \\ -1&&&&-2&-7\\ \hline &2&&&7&//\end{array}

    Si noti che nel contesto delle scomposizioni, l'ultima differenza dev'essere necessariamente nulla (indicata con // per comodità), in caso contrario lo svolgimento nasconde un errore.

    Tra le barre verticali dell'ultima riga, troviamo i coefficienti del polinomio Q(x) ordinati secondo le potenze decrescenti di x, dunque

    Q(x)=2x+7

    In definitiva P_1(x) si scompone come

    P_1(x)=(x+1)(2x+7)

    conseguentemente

    P(x)=\frac{1}{10}P_1(x)=\frac{1}{10}(x+1)(2x+7)

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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