Soluzioni
  • Eccomi, ciao Nello, il tempo di scrivere la risposta! :D

    Risposta di Ifrit
  • Per risolvere questo esercizio non è necessario effettuare alcun conto, basta conoscere un po' le proprietà del valore assoluto, o meglio sapere come si risolvono le equazioni con valore assoluto. :D

    Ricorda che il valore assoluto è una quantità positiva o nulla, quindi al primo membro della nostra equazione abbiamo una quantità positiva, al secondo invece una quantità negativa dovuta al segno meno quindi non è possibile che vi sia uguaglianza. Mi rendo conto però che questo ragionamento richieda un po' di esperienza quindi la andremo a risolvere, seguendo i passaggi canonici.

    Studio del segno dell'argomento dei vari valori assoluti:

    x\ge0 e vabbè non c'è nulla da dire:

    x+4 >0 se e solo se:

    x>-4

    Otteniamo quindi che:

    Se x\ge 0, il primo modulo diventa |x|=x, il secondo modulo diventa |x+4|= x+4

    L'equazione di partenza si riscrive come:

    \frac{1}{1+x}= -\frac{2}{x+4}

    Portiamo tutto al primo membro:

    \frac{1}{1+x}+\frac{2}{x+4}= 0

    \frac{x+4+2+2x}{(1+x)(x+4)}=0

    \frac{3x+6}{(1+x)(x+4)}=0

    Ricorda ora che una frazione è uguale a zero se e solo se il numeratore è uguale a zero:

    3x+6= 0 \iff x=-2 ma -20

    Per -4\textless x\textless 0

    e per 

    x<0

    |x+4|= x+4 perché x+4>0

    mentre |x|=-x perché l'argomento è negativo-

    L'equazione in questo caso si esprime come

    \frac{1}{1-x}= -\frac{2}{x+4}

    Portiamo al primo membro tutto:

    \frac{1}{1-x}+\frac{2}{x+4}=0

    \frac{x+4+2-2x}{(1-x)(x+4)}=0

    \frac{-x+6}{(1-x)(x+4)}=0

    Affinché l'equazione venga soddisfatta dobbiamo pretendere che il numeratore sia nullo:

    -x+6=0 \implies x= 6 ma 6 non è compreso tra -4 e 0 quindi non è soluzione.

    Ultimo caso:

    x<-4

    A questo punto avrai capito la solfa:

    |x+4|= -x-4

    |x|= -x

    L'equazione si scrive come:

    \frac{1}{1-x}= \frac{-2}{-x-4}

    Portando al primo membro:

    \frac{1}{1-x}+\frac{2}{-x-4}=0

    Minimo comun denominatore:

    \frac{-x-4+2-2x}{(1-x)(-x-4)}=0

    \frac{-3x-2}{(1-x)(-x-4)}=0

    Come sempre consideriamo solo il numeratore:

    -3x-2=0 \implies x= -\frac{2}{3}

    Ma -\frac{2}{3}>-4 quindi nopn può essere considerata soluzione.

    Concludendo l'equazione è impossibile! :)

     

     

     

    Risposta di Ifrit
 
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