Soluzioni
  • Eccomi, ciao Jumpy, il tempo di scrivere la risposta!:)

    Risposta di Ifrit
  • Sappiamo che:

    \tan\alpha = -\frac{1}{3}

    con π/2<α<π. 

    Eleviamo ambo i membri al quadrato:

    \tan^2 \alpha = \frac{1}{9}

    ma

    \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2 \alpha}

    dunque abbiamo che:

    \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2 \alpha}= \frac{1}{9}

    Aggiungiamo membro a membro 1:

    1+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2 \alpha}= 1+\frac{1}{9}

    Pertanto:

    \frac{\cos^2\alpha+\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{10}{9}

    Dalla relazione fondamentale della trigonometria sappiamo che:

    \sin^2 \alpha+\cos^2\alpha = 1\quad\forall \alpha 

    pertanto:

    \frac{\cos^2\alpha+\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{10}{9}

    diventa:

    \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{10}{9}

    quindi:

    \cos^2 \alpha = \frac{9}{10}

    Estraendo la radice quadrata membro a membro abbiamo:

    |\cos\alpha|= 3\frac{\sqrt{10}}{10}

    Inoltre poiché \alpha è compreso tra \pi/2 e \pi allora il coseno è negativo dunque:

    -\cos\alpha= 3\frac{\sqrt{10}}{10}\implies \cos\alpha = -3\frac{\sqrt{10}}{10}

    Il seno è dato dalla relazione:

    |\sin\alpha|=\sqrt{1-\cos^2\alpha}= \sqrt{1-\frac{9}{10}}= \frac{\sqrt{10}}{10}.

     

    Nell'intervallo (\pi/2, \pi) il seno è positivo, quindi:

    \sin\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}

     

    A questo punto dobbiamo calcolare, con l'ausilio delle formule di duplicazione:

    \sin2 \alpha=2\sin\alpha \cos\alpha = 2\frac{\sqrt{10}}{10}\times -3\frac{\sqrt{10}}{10}= -\frac{3}{5}

    \cos2 \alpha=1-2\sin^2\alpha= 1-2\times \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2= \frac{4}{5}

     

    Ciao :)

     

    Risposta di Ifrit
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