Espressione trigonometrica con potenze di seno e coseno

Question

Ciao a tutti, avrei una espressione goniometrica che va semplificata usando opportune formule trigonometriche: 2cos^8(x)-2sin^8(x)+3sin^6(x)-5cos^6(x)+3cos^4(x). Grazie tante!

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

Premetto che qui trovi tutte le principali formule della Trigonometria-click! Per semplificare l'espressione: 2cos^8(x)-2sin^8(x)+3sin^6(x)-5cos^6(x)+3cos^4(x) cominciamo con un raccoglimento totale sui primi due termini 2(cos^8(x)-sin^8(x))+3sin^6(x)-5cos^6(x)+3cos^4(x) Chiamiamo x = cos(x) y = sin(y) Osserva che puoi scomporre il polinomio x^8-y^8 con progressive applicazioni della regola per la differenza di quadrati x^8-y^8 = (x^4-y^4)(x^4+y^4) x^8-y^8 = (x^2-y^2)(x^2+y^2)(x^4+y^4) x^8-y^8 = (x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4) cioè, grazie all'identità fondamentale della Trigonometria (vedi formule trigonometriche) è cos^8(x)-sin^8(x) = (cos(x)-sin(x))(cos(x)+sin(y))(1)(cos^(4)(x)+sin^(4)(x)) = • cioè • = (cos^2(x)-sin^2(x))(cos^(4)(x)+sin^(4)(x)) = • • = cos^(6)(x)+sin^(4)(x)cos^(2)(x)-sin^2(x)cos^4(x)-sin^(6)(x) Adesso non ti resta che mettere insieme questa espressione con la retante parte dell'espressione iniziale, ed effettuare le possibili semplificazioni. Se non riesci, fammi sapere! Namasté!