Problema trigonometrico sul triangolo rettangolo

Mi potete dire come fare a risolvere un problema trigonometrico in cui vanno usate le formule goniometriche sul triangolo rettangolo?

Il triangolo ABC rettangolo in A ha l'angolo di vertice B di 30°. Determinare su BC un punto D in modo che si abbia: .

Ponendo si ha la soluzione . Riscontro problemi soprattutto quando applico le formule trigonometriche, quindi un problema di calcolo. Grazie mille. :)

Domanda di Chiaritas

Soluzioni

Disegniamo il triangolo rettangolo, retto in A

Poniamo , dobbiamo determinare l'angolo di modo che:
sapendo che
Ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180 gradi possiamo asserire che:
Facciamo intervenire il teorema dei seni al triangolo ADB, grazie al quale si ha:
Ricordando che il seno di 30° vale , la precedente relazione diventa
Applicando ancora una volta il teorema dei seni al triangolo ADC potremo scrivere:
Il seno di 60° vale di conseguenza la precedente relazione si riscriverà come:
Eseguiamo una razionalizzazione cosicché l'uguaglianza si riscriva come:
Sostituiamo gli elementi trovati nella relazione:
Essa diventerà:
Semplifichiamo AD membro a membro e svolgiamo i conti:
Per la formula di addizione del seno:
L'equazione diventerà quindi:
Quella scritta è un'equazione lineare in seno e coseno che può essere risolta con le formule parametriche.
Poniamo , il seno si riscriverà come:
mentre il coseno è:
L'equazione si riscrive come:
Il denominatore è sempre diverso da zero perché somma di due quadrati positivi, l'equazione frazionaria è equivalente all'equazione di secondo grado completa:
Il discriminante associato è:
Le soluzioni sono:
La soluzione non è accettabile per motivi geometrici. Da segue che:
che è il risultato voluto.
Risposta di Ifrit