Soluzioni
  • Disegniamo il triangolo rettangolo, retto in A

     

    Rappresentazione del triangolo rettangolo retto in A

     

    Poniamo x=B\hat{A}D, dobbiamo determinare l'angolo di modo che:

    AD+BD=\frac{3+\sqrt{3}}{3}AC

    sapendo che A\hat{B}C=30^{\circ}

    Ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180 gradi possiamo asserire che:

    A\hat{D}B=180^{\circ}- D\hat{A}B-A\hat{B}D= 180^{\circ}-(x+30^{\circ})

    Facciamo intervenire il teorema dei seni al triangolo ADB, grazie al quale si ha:

    \frac{BD}{\sin(x)}=\frac{AD}{\sin(30^{\circ})}

    Ricordando che il seno di 30° vale \frac{1}{2} allora la precedente relazione diventa

    \frac{BD}{\sin(x)}=\frac{AD}{\frac{1}{2}}\implies BD=2AD\sin(x)

    Applicando ancora una volta il teorema dei seni al triangolo ADC potremo scrivere:

    \frac{AD}{\sin(60^{\circ})}= \frac{AC}{\sin(x+30^{\circ})}

    Il seno di 60° vale \frac{\sqrt{3}}{2} di conseguenza la precedente relazione si riscriverà come:

    AC=\frac{2}{\sqrt{3}}AD\sin(x+30^{\circ})

    Eseguiamo una razionalizzazione cosicché l'uguaglianza si riscriva come:

    AC=\frac{2\sqrt{3}}{3}AD\sin(x+30^{\circ})

    Ok, sostituiamo gli elementi trovati nella relazione:

    AD+BD=\frac{\sqrt{3}+3}{2}AC

    Essa diventerà:

    AD+2AD\sin(x)=\left(\frac{\sqrt{3}+3}{2}\right)\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}AD\sin(x+30^{\circ})

    Semplifichiamo AD membro a membro ed eseguiamo i conti:

    1+2\sin(x)=(1+\sqrt{3})\sin(x+30^{\circ})

    Per la formula di addizione del seno:

    \sin(x+30^{\circ})=\frac{\cos(x)}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)

    L'equazione diventerà quindi:

    (1+\sqrt{3})\cos(x)+(-1+\sqrt{3})\sin(x)=2

    Quella scritta è un'equazione lineare in seno e coseno che può essere risolta con le formule parametriche.

    Poniamo t=\tan\left(\frac{x}{2}\right), il seno si riscriverà come:

    \sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}

    mentre il coseno è:

    \cos(x)= \frac{1-t^2}{1+t^2}

    L'equazione si riscrive come:

    \frac{-(3+\sqrt{3})t^2+2(-1+\sqrt{3})-1+\sqrt{3}}{2(1+t^2)}=0

    Il denominatore è sempre diverso da zero perché somma di due quadrati positivi, l'equazione frazionaria è equivalente all'equazione di secondo grado completa:

    -(3+\sqrt{3})t^2+ 2 (-1+\sqrt{3})t-1+\sqrt{3}=0

    Il discriminante associato è:

    \Delta=(2(-1+\sqrt{3}))^2+4 (3+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)=16

    Le soluzioni sono:

    t_{1,2}=\frac{-2(-1+\sqrt{3})\pm 4}{-2(3+\sqrt{3})}\implies t_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}\wedge t_{2}=-2+\sqrt{3}

    La soluzione t_2 non è accettabile per motivi geometrici. Da t_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}} segue che:

    \tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\implies x=60^{\circ}

    Che è il risultato voluto.

    Risposta di Ifrit
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