Soluzioni
  • Il problema può essere risolto impostando il corretto sistema lineare mediante il quale saremo in grado di determinare le dimensioni del parallelepipedo rettangolo a,\ b \ \mbox{e} \ c. La traccia del problema fornisce in maniera praticamente esplicita le relazioni che legano le tre dimensioni: sappiamo infatti che a è i \frac{2}{5} di b,

    a=\frac{2}{5}b

    inoltre conosciamo la somma delle tre dimensioni

    a+b+c=21 \mbox{ cm}

    infine

    c=2a+2b

    Le tre equazioni devono valere contemporaneamente, ecco perché impostiamo il sistema lineare

    \begin{cases}a=\frac{2}{5}b \\ a+b+c=21\mbox{ cm}\\ c=2a+2b\end{cases}

    le cui incognite sono le tre dimensioni del parallelepipedo. La risoluzione del sistema può avvenire con l'uso di diverse strategie: il metodo del confronto, il metodo di riduzione o ancora il metodo di Cramer. Per i nostri scopi, però, il metodo di sostituzione è quello da preferire per via della sua semplicità di utilizzo.

    La prima equazione del sistema ci avverte che a=\frac{2}{5}b, pertanto sostituiamo l'espressione in ogni occorrenza di a nelle equazioni rimanenti

    \begin{cases}a=\frac{2}{5}b \\ \frac{2}{5}b+b+c=21\mbox{ cm}\\ c=2\left(\frac{2}{5}b\right)+2b\end{cases}

    A questo punto svolgiamo i calcoli, sommando tra loro i monomi simili nella seconda e nella terza equazione

    \begin{cases}a=\frac{2}{5}b \\ \frac{7}{5}b+c=21\mbox{ cm}\\ c=\frac{14}{5}b\end{cases}

    La terza equazione definisce la relazione che lega l'incognita c con b la quale permette di esprimere la seconda equazione nella sola incognita b

    \begin{cases}a=\frac{2}{5}b \\ \frac{7}{5}b+\frac{14}{5}b=21\mbox{ cm}\\ c=\frac{14}{5}b\end{cases}

    Osserviamo che la seconda relazione si riduce a un'equazione di primo grado nell'incognita b: per risolverla possiamo considerare il minimo comune multiplo tra i denominatori e scrivere il sistema come segue

    \begin{cases}a=\frac{2}{5}b \\ \frac{7+14}{5}b=\frac{105}{5}\mbox{ cm}\\ c=\frac{14}{5}b\end{cases}

    da cui

    \begin{cases}a=\frac{2}{5}b \\ 21b=105\mbox{ cm}\\ c=\frac{14}{5}b\end{cases}

    Dividiamo i due membri della seconda equazione per 21 così da ricavare b

    \begin{cases}a=\frac{2}{5}b \\ b=5\mbox{ cm}\\ c=\frac{14}{5}b\end{cases}

    Noto b, determiniamo i valori delle incognite a\ \mbox{e} \ c con una semplice sostituzione

    \begin{cases}a=\frac{2}{5}\cdot 5\mbox{ cm}=2\mbox{ cm} \\ b=5\mbox{ cm}\\ c=\frac{14}{5}\cdot 5\mbox{ cm}=14\mbox{ cm}\end{cases}

    In definitiva le dimensioni del parallelepipedo rettangolo valgono

    a=2\mbox{ cm} \ \ \ , \ \ \ b=5\mbox{ cm}\ \ \ , \ \ \ c=14\mbox{ cm}

    con le quali siamo in grado di rispondere alle richieste del problema.

    Per calcolare la superficie totale del parallelepipedo rettangolo abbiamo bisogno della superficie laterale che possiamo calcolare mediante la formula

    S_{lat}=2p\cdot c

    dove con 2p indichiamo il perimetro del poligono di base, il quale non è altro che un rettangolo le cui dimensioni sono a\ \mbox{e} \ b. Tenendo conto della relazione 2p=2(a+b), la precedente relazione si riscrive come:

    S_{lat}=2(a+b)\cdot c=2(2\mbox{ cm}+5\mbox{ cm})\cdot 14\mbox{ cm}=196\mbox{ cm}^2

    Oltre alla superficie laterale, è necessario calcolare l'area della superficie di base, vale a dire l'area del rettangolo di dimensioni a\ \mbox{e} \ b

    S_{base}=a\cdot b=2\cdot 5\mbox{ cm}^2=10\mbox{ cm}^2

    Note la superficie laterale e la superficie di base, calcoliamo la superficie totale sommando tra loro la superficie laterale e il doppio della superficie di base

    S_{tot}=S_{lat}+2S_{base}=196\mbox{ cm}^2+2\cdot 10\mbox{ cm}^2=216\mbox{ cm}^2

    Per quanto concerne il calcolo del volume del parallelepipedo, esso si ottiene moltiplicando tra loro le tre dimensioni:

    V=a\cdot b\cdot c=2\cdot 5\cdot 14\mbox{ cm}^3=140\mbox{ cm}^3

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Geometria