Dimensioni di un parallelepipedo rettangolo con le equazioni
Come si risolve questo problema con i sistemi lineari sulle dimensioni di un parallelepipedo rettangolo? Più che altro ho bisogno di capire qual è il sistema risolvente e come determinare la soluzione.
Dato un parallelepipedo rettangolo di dimensioni 
con 
pari ai 
di 
e 
e 
, calcolare l'area della superficie totale e il volume del solido.
Come potrei calcolare l'area e il volume del parallelepipedo rettangolo e quali formule dovrei usare? Grazie.
Il problema può essere risolto impostando il corretto sistema lineare mediante il quale saremo in grado di determinare le dimensioni del parallelepipedo rettangolo . La traccia del problema fornisce in maniera praticamente esplicita le relazioni che legano le tre dimensioni: sappiamo infatti che è i di ,
inoltre conosciamo la somma delle tre dimensioni
infine
Le tre equazioni devono valere contemporaneamente, ecco perché impostiamo il sistema lineare
le cui incognite sono le tre dimensioni del parallelepipedo. La risoluzione del sistema può avvenire con l'uso di diverse strategie: il metodo del confronto, il metodo di riduzione o ancora il metodo di Cramer. Per i nostri scopi, però, il metodo di sostituzione è quello da preferire per via della sua semplicità di utilizzo.
La prima equazione del sistema ci avverte che , pertanto sostituiamo l'espressione in ogni occorrenza di nelle equazioni rimanenti
A questo punto svolgiamo i calcoli, sommando tra loro i monomi simili nella seconda e nella terza equazione
La terza equazione definisce la relazione che lega l'incognita 
con la quale permette di esprimere la seconda equazione nella sola incognita
Osserviamo che la seconda relazione si riduce a un'equazione di primo grado nell'incognita : per risolverla possiamo considerare il minimo comune multiplo tra i denominatori e scrivere il sistema come segue
da cui
Dividiamo i due membri della seconda equazione per 21 così da ricavare
Noto , determiniamo i valori delle incognite 
con una semplice sostituzione
In definitiva le dimensioni del parallelepipedo rettangolo valgono
con le quali siamo in grado di rispondere alle richieste del problema.
Per calcolare la superficie totale del parallelepipedo rettangolo abbiamo bisogno della superficie laterale che possiamo calcolare mediante la formula
dove con 
indichiamo il perimetro del poligono di base, il quale non è altro che un rettangolo le cui dimensioni sono 
. Tenendo conto della relazione 
, la precedente relazione si riscrive come:
Oltre alla superficie laterale, è necessario calcolare l'area della superficie di base, vale a dire l'area del rettangolo di dimensioni
Note la superficie laterale e la superficie di base, calcoliamo la superficie totale sommando tra loro la superficie laterale e il doppio della superficie di base
Per quanto concerne il calcolo del volume del parallelepipedo, esso si ottiene moltiplicando tra loro le tre dimensioni:
Abbiamo finito.
Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
Ultima modifica: