Semplificare un'espressione goniometrica col risultato di un'equazione

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Sono alle prese con un esercizio di Trigonometria che assegna un'equazione in seno e coseno, e un'espressione goniometrica con secante, cosecante, seno e coseno, e chiede di esprimere l'espressione in termini della sola secante. Come si risolve?

 

Sapendo che

 

3 sin(x)+4 cos(x) = 0

 

semplificare la seguente espressione goniometrica esprimendola in termini della sola secante

 

(sec(x)+csc(x))/(sin(x)+cos(x))

Domanda di yasmab

 
Soluzioni

  • Ci viene assegnata la seguente espressione goniometrica

    (sec(x)+csc(x))/(sin(x)+cos(x))

    e dobbiamo esprimerla in termini della sola secante sapendo che

    3 sin(x)+4 cos(x) = 0

    Procediamo! Anzitutto ricordiamo che la secante di angolo è uguale al reciproco del coseno dello stesso angolo

    sec(x) = (1)/(cos(x)), con x ≠ 90°+k180°, k ∈ Z

    e che la cosecante di un angolo è uguale al reciproco del seno dello stesso angolo

    csc(x) = (1)/(sin(x)), con x ≠ k180°, k ∈ Z

    Di conseguenza

    (sec(x)+csc(x))/(sin(x)+cos(x)) = ((1)/(cos(x))+(1)/(sin(x)))/(sin(x)+cos(x)) =

    scriviamo la frazione di frazione come moltiplicazione

    = ((1)/(cos(x))+(1)/(sin(x)))·((1)/(sin(x)+cos(x))) =

    e svolgiamo l'addizione tra frazioni nella prima coppia di parentesi tonde

    = (sin(x)+cos(x))/(sin(x)cos(x))·(1)/(sin(x)+cos(x)) =

    calcoliamo il prodotto tra frazioni semplificando a incrocio

    = (1)/(sin(x)cos(x)) = (•)

    A questo punto facciamo intervenire l'uguaglianza assegnata dal testo dell'esercizio

    3 sin(x)+4 cos(x) = 0

    Esplicitiamola in favore di sin(x)

    sin(x) = -(4)/(3) cos(x)

    e sostituiamo in (•):

    (•) = (1)/(-(4)/(3) cos(x) cos(x)) = (1)/(-(4)/(3)·cos^2(x)) = -(3)/(4)·(1)/(cos^2(x)) =

    per definizione di secante

    = -(3)/(4) sec^2(x)

    È tutto!

    Risposta di Galois
 
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