esercizio polinomio

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Ciao a tutti. Non riesco ad avanzare nel seguente esercizio:

Per quali valori del parametro reale m, il polinomio P(x) dove P(x)=(m2-m+1)x3+(m-2)x2+(m+2) è divisibile per (x-1), per (x+1) ?

Grazie a tutti.

Domanda di yasmab

 
Soluzioni

  • Ciao Yasmab, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega

  • Consideriamo il polinomio

    P(x) = (m^2-m+1)x^3+(m-2)x^2+(m+2)

    per fare sì che P(x) sia divisibile per i monomi

    (x-1)

    e

    (x+1)

    facciamo riferimento al seguente criterio: un polinomio P(x) è divisibile per x-a se e solo se P(a) = 0, cioè se e solo se a è una radice dl polinomio considerato.

    Noi richiediamo dunque che

    P(+1) = (m^2-m+1)(1^3)+(m-2)(1^2)+(m+2) = 0

    e che

    P(-1) = (m^2-m+1)((-1)^3)+(m-2)((-1)^2)+(m+2) = 0

    cioè, rispettivamente

    P(+1) = m^2-m+1+m-2+m+2 = 0

    P(-1) = -m^2+m-1+m-2+m+2 = 0

    dunque

    P(+1) = m^2+1+m = 0

    P(-1) = -m^2+3m-1 = 0

    La prima equazione di secondo grado non ha soluzioni poiché ha discriminante negativo, mentre la seconda ha soluzioni

    m = (1)/(2)(3±√(5))

    Il fatto è che il polinomio assegnato può essere divisibile per (x+1), ma non per x-1.

    Se hai dubbi, non esitare a chiedere.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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