Convergenza puntuale e uniforme (esercizio a metà)?

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Il testo dell'esercizio è:

Si studi la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni definite in (0, +∞) da

f < sub > n < /sub > (x) =  (n+x)/(nx).

Per studiare la convergenza puntuale ho calcolato 

lim_(n → +∞)f < sub > n < /sub > (x)

dal quale ho ottenuto che in (0, +∞) la successione converge puntualmente a f(x) = 1/x.

Per studiare la convergenza uniforme ho cominciato a cercare il sup del valore assoluto di fn(x) - f(x), calcolando la derivata prima che però risulta nulla. Non sono più capace di proseguire...  Cry

Domanda di Clara

 
Soluzioni

  • Ciao Clara, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega

  • Ehmm, scusate ma ho fatto un po' casino nello scrivere le formule... però si capisce...?

    Risposta di Clara

  • Si capisce, non preoccuparti Wink

    Risposta di Omega

  • Essendo la successione di funzioni

    f_n(x) = (n+x)/(nx)

    il tuo studio della convergenza uniforme è corretto. Si tratta di calcolare il limite, per x fissato in (0,+∞)

    lim_(n → +∞)f_n(x) = (1)/(x) = f(x)

    Ora passiamo alla convergenza uniforme: dobbiamo valutare il

    lim_(n → +∞)sup_(x∈(0,+∞))|f_n(x)-(1)/(x)|

    Non disperiamo: non serve nemmeno calcolare la derivata prima della differenza f_n(x)-f(x), infatti provando ad effettuare i calcoli troviamo che

    |f_n(x)-f(x)|)|(n+x)/(nx)-(1)/(x)| = |(n+x-n)/(nx)| = (1)/(n)

    dunque l'estremo superiore, avendo preventivamente fissato n è proprio

    (1)/(n)

    perché la differenza considerata non dipende da x. Passando poi al limite per n → +∞ dell'estremo superiore, troviamo che vale 0.

    Abbiamo dunque anche la convergenza uniforme oltre a quella puntuale.

    Per qualsiasi dubbio, non esitare a chiedere.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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