Polinomio incognito divisibile per due monomi

Question

Avrei un esercizio da risolvere con la regola di Ruffini in cui mi si chiede di determinare due parametri a e b in modo che un polinomio rispetti alcune condizioni di divisibilità. Sapendo che il polinomio P(x) = x^3+x^2+ax+b sia divisibile per i binomi x+1 e x−1, determinare il valore dei coefficienti a e b. Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

L'esercizio può essere affrontato in due modi differenti: la prima strategia prevede di avvalersi della regola di Ruffini per ricavare i resti delle divisioni polinomiali

(x^3+x^2+ax+b):(x+1) ; e ; (x^3+x^2+ax+b):(x−1)

espressi in termini di , dopodiché imporremo che tali resti siano nulli per garantire le condizioni di divisibilità imposte dalla traccia; la seconda strada consiste nell'applicare il teorema del resto che permette di bypassare la tabella di Ruffini e che riduce al minimo la mole di conti.

Risoluzione con la regola di Ruffini

Ricordiamo che, per definizione, un polinomio è divisibile per un polinomio , diverso da zero, se e solo se il resto della divisione è identicamente nullo.

Poniamo per semplicità di esposizione:

In base alla definizione di divisibilità, è divisibile per il binomio se e solo se il resto della divisione è zero.

Calcoliamo quindi il resto usando la regola di Ruffini, impostando a dovere la tipica tabella del metodo:

- scriviamo in riga i coefficienti di , ordinati secondo le potenze decrescenti di ;

- tracciamo due righe verticali, una prima del coefficiente di , l'altra subito prima del termine noto;

- tracciamo una linea orizzontale un po' più in basso;

- riportiamo l'opposto del termine noto del divisore sopra la linea orizzontale e prima della linea verticale sinistra.

Se abbiamo seguito correttamente le istruizioni, la tabella di Ruffini è:

c|ccccc|c 1 1 a b ; ;−1 ; hline

A questo punto riempiamo lo schema! Riportiamo il primo 1 sotto la linea orizzontale

c|ccccc|c 1 1 a b ; ;−1 ; hline 1

e moltiplichiamolo per -1 incolonnando il risultato sotto il secondo 1

c|ccccc|c 1 1 a b ; ;−1 −1 ; hline 1

Addizioniamo tra loro 1 e -1, riportando la somma sotto la linea orizzontale

c|ccccc|c 1 1 a b ; ;−1 −1 ; hline 1 0

Moltiplichiamo 0 e -1, riportiamo il prodotto sotto e sommiamo

c|ccccc|c 1 1 a b ; ;−1 −1 0 ; hline 1 0 a

Siamo quasi in dirittura di arrivo: moltiplichiamo , riportiamo il prodotto sotto e sommiamo

c|ccccc|c 1 1 a b ; ;−1 −1 0 −a ; hline 1 0 a b−a

Una volta completata la tabella, possiamo estrapolare sia il quoziente sia il resto della divisione. Più precisamente il resto della divisione coincide con l'ultimo termine della terza riga:

mentre gli altri elementi non sono altro che i coefficienti del quoziente ordinati secondo le potenze decrescenti di :

Per il momento, lasciamo da parte il quoziente: quello di cui abbiamo veramente bisogno è il resto!

Poiché divide il polinomio , il resto della divisione tra i due dev'essere necessariamente zero, pertanto scriviamo la relazione

Teniamola da parte perché ci servirà in un secondo momento. Determiniamo il resto della divisione polinomiale

seguendo il medesimo approccio. In questa occasione, la tabella di Ruffini è:

c|ccccc|c 1 1 a b ; ; 2 2 6 2a+12 ; hline 1 3 a+6 2a+b+12

dalla quale ricaviamo immediatamente che il resto della risulta

Proprio perché il binomio divide , il resto dev'essere necessariamente nullo, vale a dire:

In definitiva, grazie al metodo di Ruffini abbiamo ricavato due relazioni

le quali devono valere contemporaneamente, ecco perché formano il sistema lineare

b−a = 0 ; 2a+b+12 = 0

che possiamo risolvere con il metodo di sostituzione: esprimiamo in termini di dalla prima equazione e operiamo la dovuta sostituzione nella seconda equazione

b = a ; 2a+a+12 = 0 → 3a = −12 → a = −4

Noto il valore di , possiamo infine determinare :

Possiamo concludere pertanto che il polinomio che rispetta le condizioni dell'esercizio è:

Abbiamo finito.

Risoluzione con il teorema del resto

L'esercizio può essere risolto agilmente con il teorema del resto, il cui enunciato è:

il resto della divisione di un polinomio per un binomio del tipo è dato dal valore della valutazione di in , dove è il termine noto del binomio cambiato di segno.

In accordo con l'enunciato, il resto della divisione

si ricava valutando in :

Il resto della divisione

si ottiene valutando il polinomio per

Poiché i due binomi dividono esattamente , i resti delle divisioni devono essere nulli, dunque

In buona sostanza abbiamo ottenuto le medesime equazioni che costituiscono il sistema lineare di cui abbiamo già determinato la soluzione nella risoluzione con la regola di Ruffini.

Chiaramente le due strategie risolutive conducono ai medesimi risultati, però il teorema del resto ha il vantaggio di essere meno calcolotico e consente di bypassare la tabella di Ruffini.