Soluzioni
  • Dall'analisi preliminare comprendiamo che il limite

    \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{3x}\right)^{\frac{1}{\log(4x)}}=(\bullet)

    presenta una forma indeterminata del tipo [0^0]. Per risolverla conviene utilizzare l'identità derivante dalla definizione di logaritmo

    h(x)^{g(x)}=e^{g(x)\log(h(x))} \ \ \ \mbox{per} \ h(x)>0

    mediante la quale il limite si riscrive come

     (\bullet)=\lim_{x\to+\infty}e^{\frac{1}{\log(4x)}\log\left(\frac{1}{3x}\right)}=

    Invocando la proprietà dei logaritmi relativa al quoziente, il limite diventa

    \\ =\lim_{x\to+\infty}e^{\frac{1}{\log(4x)}(-\log(3x))}= \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}e^{-\frac{\log(3x)}{\log(4x)}}=(\bullet\bullet)

    La relazione relativa al logaritmo di un prodotto

    \log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b) \ \ \ \mbox{con} \ a>0, \ b>0

    garantisce inoltre la veridicità delle seguenti identità

    \\ \log(3x)=\log(3)+\log(x) \ \ \ \mbox{per} \ x>0 \\ \\ \log(4x)=\log(4)+\log(x) \ \ \ \mbox{per} \ x>0

    tramite le quali il limite diventa

    (\bullet\bullet)=\lim_{x\to+\infty}e^{-\frac{\log(3)+\log(x)}{\log(4)+\log(x)}}=

    Concordemente con il confronto tra infiniti, siamo autorizzati a cancellare i termini costanti all'esponente e concludere che il limite è e^{-1}

    =\lim_{x\to+\infty}e^{-\frac{\log(x)}{\log(x)}}=e^{-1}=\frac{1}{e}

    Osserviamo che nell'ultimo passaggio abbiamo sfruttato la definizione di potenza con esponente negativo.

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi