Limite esponenziale con base variabile e logaritmo

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Devo calcolare il limite di una funzione esponenziale con base variabile ed esponente fratto con logarimto. Mi sono accorto che si presenta nella forma indeterminata 0 alla 0, ma non ho trovato alcuna strategia risolutiva che mi consenta di giungere al risultato.

 

lim_(x → +∞)((1)/(3x))^((1)/(log(4x)))

 

Come mostro che il risultato è (1)/(e) ?

 

Grazie.

Domanda di 904

 
Soluzioni

  • Dall'analisi preliminare comprendiamo che il limite

    lim_(x → +∞)((1)/(3x))^((1)/(log(4x))) = (•)

    presenta una forma indeterminata del tipo [0^0]. Per risolverla conviene utilizzare l'identità derivante dalla definizione di logaritmo

    h(x)^(g(x)) = e^(g(x)log(h(x))) per h(x) > 0

    mediante la quale il limite si riscrive come

    (•) = lim_(x → +∞)e^((1)/(log(4x))log((1)/(3x))) =

    Invocando la proprietà dei logaritmi relativa al quoziente, il limite diventa

    = lim_(x → +∞)e^((1)/(log(4x))(-log(3x))) = lim_(x → +∞)e^(-(log(3x))/(log(4x))) = (• •)

    La relazione relativa al logaritmo di un prodotto

    log(a·b) = log(a)+log(b) con a > 0, b > 0

    garantisce inoltre la veridicità delle seguenti identità

    log(3x) = log(3)+log(x) per x > 0 ; log(4x) = log(4)+log(x) per x > 0

    tramite le quali il limite diventa

    (• •) = lim_(x → +∞)e^(-(log(3)+log(x))/(log(4)+log(x))) =

    Concordemente con il confronto tra infiniti, siamo autorizzati a cancellare i termini costanti all'esponente e concludere che il limite è e^(-1)

    = lim_(x → +∞)e^(-(log(x))/(log(x))) = e^(-1) = (1)/(e)

    Osserviamo che nell'ultimo passaggio abbiamo sfruttato la definizione di potenza con esponente negativo.

    Risposta di Ifrit
 
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