Soluzioni
  • Eccomi ciao WhitheC, lo studio di funzione verrà lungo quindi lo spezzeremo :)

    Risposta di Ifrit
  • Seguendo il procedimento per lo studio di funzione: il dominio è corretto, non vi sono simmetrie. Però mi pare che tu abbia dimenticato di calcolare l'intersezione con gli assi:

    Per l'intersezione con l'asse Y è necessario valutare la funzione per x=0, ed otterrai il punto.

    f(0)= |\arctan(0)|+0-2= -2

    Quindi la funzione passa per il punto (0, -2), quindi credo che il primo dubbio sia andato! :)

    Gli asintoti sono corretti!! Ottimo, complimenti! Per quanto riguarda la domanda sulla derivata prima, probabilmente in 0 hai un punto angoloso. Lo si trova quando la derivata destra e la derivata sinistra in un punto esistono finite, ma queste non coincidono. Confermo il risultato comunque.

    Per la derivata seconda ci sto lavorando. ;)

    Risposta di Ifrit
  • il fatto è che il professore ci ha detto che non è necessario calcolare l'intersezione con gli assi... per questo non ho capito a lui da dove esce sto meno 2 :S comunque grazie,fammi sapere per il resto,sei gentilissimo *_*

    Risposta di WhiteC
  • p.s. devo trovare anche il punto angoloso..puoi mostrarmi il procedimento?

    Risposta di WhiteC
  • Ad ogni modo, quando hai un valore assoluto in una funzione conviene, studiare il segno dell'argomento di modo che il valore assoluto scompaia.

    \arctan(x)\ge 0\iff x\ge 0

    di conseguenza:

    f(x)=\begin{cases}\arctan(x)+x-2&\mbox{se }x\ge0\\ -\arctan(x)+x-2 &\mbox{ se }x<0\end{cases}

    La derivata prima è quindi:

    f'(x)=\begin{cases}1+\frac{1}{1+x^2}&\mbox{se }x>0\\ 1-\frac{1}{1+x^2} &\mbox{ se }x<0\end{cases}

    In zero la funzione non è derivabile, lo hai detto tu stesso correttamente :). 

    Quello che possiamo dire sulla derivata prima è che è positiva per x>0, possiamo quindi asserire che

    la funzione cresce per x>0. 

    Per x<0  il segno non è così evidente perciò lo andiamo a studiare:

    1-\frac{1}{1+x^2}>0

    implica:

    \frac{x^2}{1+x^2}>0 e questo è vera sempre, quindi anche per x<0

    La derivata prima è positiva in tutto il dominio escluso lo 0. Possiamo asserire che la funzione è crescente.

     

    Per la derivata seconda invece:

    f'(x)=\begin{cases}-\frac{2x}{(1+x^2)^2}&\mbox{se }x>0\\ \frac{2x}{(1+x^2)^2} &\mbox{ se }x<0\end{cases}

     

    Cosa possiamo osservare?

    Beh se x>0 allora la derivata seconda è negativa e pertanto la funzione di partenza è concava, e lo è anche per x<0. Possiamo concludere quindi che la funzione di partenza è concava :)

     

    Se hai dubbi ne riparliamo domani, purtroppo la sezione facci una domanda è chiusa :)

    Risposta di Ifrit
  • Ops: Non avevo visto le domande. Il punto angoloso lo hai trovato tu stesso quando hai affermato che la funzione non ammette derivata in zero e hai detto che la derivata prima destra, in zero, vale 2 e la derivata sinistra, in zero, vale 0 

    Questo vuol dire che (0,-2) è un punto angoloso per la funzione ;)

    Risposta di Ifrit
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