Soluzioni
  • Il teorema del Dini permette di stabilire quando una curva descritta in forma implicita si può esprimere, localmente, in forma esplicita, e fornisce una formula per calcolare la derivata prima della funzione esplicita in un punto che annulla la funzione di partenza.

    Enunciato del teorema del Dini in due dimensioni

    Siano A \subset \mathbb{R}^2 un intervallo aperto di \mathbb{R}^2, g:A \to \mathbb{R} una funzione di classe C^1 in A e (x_0,y_0) \in A un punto.

    Se la funzione g si annulla in (x_0,y_0)

    g(x_0,y_0)=0

    e se la derivata parziale di g rispetto a y valutata in (x_0,y_0) è diversa da zero

    g_y(x_0,y_0) \neq 0

    allora esistono due intervalli reali I, J, con x_0 \in I e y_0 \in J, e una funzione reale di variabile reale y: I \to J, di classe C^1 in I, tale che

    y(x_0)=y_0 \ \ \ ; \ \ \ y'(x_0)=-\frac{g_x(x_0,y_0)}{g_y(x_0,y_0)}

    e tale che per ogni x \in I e per ogni y \in J risulti

    g(x,y)=0 \iff y=y(x)

    Analogamente, scambiando i ruoli delle due variabili, si giunge a definire una funzione del tipo x=x(y).

    In poche parole il teorema del Dini ci dice che, sotto opportune ipotesi, una funzione definita in modo implicito - ossia definita mediante un luogo di zeri g(x,y)=0 - ammette localmente (intervallo I) una rappresentazione esplicita del tipo y=y(x), oppure del tipo x=x(y).

    Esempio di applicazione del teorema del Dini

    A titolo di esempio svolgiamo l'esercizio proposto, che assegna la funzione

    g(x,y)=y^5-x^6

    e chiede di:

    • dire se in un intorno del punto (1,1) la funzione g(x,y) soddisfa il teorema del Dini in due dimensioni e, in caso affermativo, di calcolare y'(1);

    • calcolare l'equazione della retta tangente al grafico della funzione y=y(x) nel punto (1,1).

    Procediamo!

    Evidentemente g(x,y) è una funzione di classe C^1 su tutto \mathbb{R}^2.

    Valutiamo la funzione g(x,y) nel punto (x_0,y_0)=(1,1)

    g(1,1)=1^5-1^6=1-1=0

    Calcoliamo la derivata parziale di g rispetto a y

    g_y(x,y)=5y^4

    e valutiamola in (1,1)

    g_y(1,1)=5y^4=5

    Poiché g(1,1)=0 e g_y(1,1) \neq 0, la funzione g(x,y) soddisfa il teorema del Dini, e quindi la curva g(x,y)=0 ammette una rappresentazione come grafico di una funzione y=y(x) in un intorno del punto (1,1).

    Per calcolare y'(1) applichiamo la formula fornita dal teorema del Dini, secondo cui

    y'(x_0)=-\frac{g_x(x_0,y_0)}{g_y(x_0,y_0)}

    Nel nostro caso:

    \\ (x_0,y_0)=(1,1) \\ \\ g_x(x,y)=-6x^5 \ \to \ g_x(1,1)=-6 \\ \\ g_y(x,y)=5y^4 \ \to \ g_y(1,1)=5

    e quindi

    y'(1)=-\frac{g_x(1,1)}{g_y(1,1)}=-\frac{-6}{5}=\frac{6}{5}

    Per calcolare l'equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto (1,1) usiamo la formula

    y-y(x_0)=y'(x_0) \cdot (x-x_0)

    e sostituiamo

    x_0=1 \ \ \ ; \ \ \ y'(x_0)=y'(1)=\frac{6}{5}

    Inoltre sempre per il teorema del Dini

    y(x_0)=y(1)=y_0=1

    per cui l'equazione della retta tangente è

    y-1=\frac{6}{5}(x-1)

    ossia

    y=\frac{6}{5}x-\frac{1}{5}

    Abbiamo finito!

    Risposta di Galois
 
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