Soluzioni
  • Dato che l'esercizio è lungo, ti indico il procedimento per portare a termine lo svolgimento.

     

    a) Tracciare il grafico P della funzione: y=-1/3x^2

    Questa è una parabola avente vertice in (0,0) e asse di simmetri verticale in x=0.

     

    b) Verificare l'identità:  x^2/3 + 2x + 3m = 1/3 [(x+3)^2+9m-9] , e dedurre l'insieme dei valori di m per i quali ammette soluzioni l'equazione: y=2x+3m

    Qui non devi fare altro che fare i calcoli:

    \frac{x^2}{3}+2x+3m=\frac{1}{3}[(x+3)^2+9m-9]

    che diventa

    \frac{x^2}{3}+2x+3m=\frac{1}{3}[x^2+6x+9+9m-9]

    cioè

    \frac{x^2}{3}+2x+3m=\frac{x^2}{3}+2x+3m

    ed è quindi verificata

    Per la seconda parte, l'equazione

    y=2x+3m

    ammette in sè e per sè soluzioni per ogni m. Forse ti riferisci ad un qualche sistema da risolvere?

     

    c) Sia rm la retta di equazione: y=2x+3m, discutere secondo i valori di m, il numero dei punti di intersezione di rm con la curva P

    In questo caso devi mettere a sistema l'equazione della retta

    y=2x+3m

    con quella della curva

    y=-\frac{x^2}{3}

    distinguendo i cai in cui il determinante dell'equazione

    \frac{x^2}{3}+2x+3m=0

    è positivo (due intersezioni), nullo (condizione di tangenza, una intersezione) o negativo (nessuna intersezione), in accordo con l'interpretazione algebrica delle posizioni tra retta e parabola.

     

    d) Sia A,B questi punti di intersezione,quando esistono. Determinare le coordinate del centro M del segmento AB

    In questo caso devi considerare le coordinate dei due punti, dipendenti dai valori di m che rendono il determinante della precedente equazione positivo e calcolarne il punto medio secondo la formula

    x_M=\frac{x_A+x_B}{2}\mbox{; }y_M=\frac{y_A+y_B}{2}

     

    e) dedurre l'insieme dei punti M al variare di m

    Qui devi semplicemente riconoscere il luogo geometrico rappresentato dalla condizione data dal determinante positivo.

     

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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