Discussione di un problema di Geometria Analitica

Dato che l'esercizio è lungo, ti indico il procedimento per portare a termine lo svolgimento.

a) Tracciare il grafico P della funzione: y=-1/3x^2

Questa è una parabola avente vertice in e asse di simmetri verticale in .

b) Verificare l'identità:  x^2/3 + 2x + 3m = 1/3 [(x+3)^2+9m-9] , e dedurre l'insieme dei valori di m per i quali ammette soluzioni l'equazione: y=2x+3m

Qui non devi fare altro che fare i calcoli:

che diventa

cioè

ed è quindi verificata

Per la seconda parte, l'equazione

ammette in sè e per sè soluzioni per ogni . Forse ti riferisci ad un qualche sistema da risolvere?

c) Sia rm la retta di equazione: y=2x+3m, discutere secondo i valori di m, il numero dei punti di intersezione di rm con la curva P

In questo caso devi mettere a sistema l'equazione della retta

con quella della curva

distinguendo i cai in cui il determinante dell'equazione

è positivo (due intersezioni), nullo (condizione di tangenza, una intersezione) o negativo (nessuna intersezione), in accordo con l'interpretazione algebrica delle posizioni tra retta e parabola.

d) Sia A,B questi punti di intersezione,quando esistono. Determinare le coordinate del centro M del segmento AB

In questo caso devi considerare le coordinate dei due punti, dipendenti dai valori di che rendono il determinante della precedente equazione positivo e calcolarne il punto medio secondo la formula

e) dedurre l'insieme dei punti M al variare di m

Qui devi semplicemente riconoscere il luogo geometrico rappresentato dalla condizione data dal determinante positivo.

Namasté!