Esercizio con parabola ed equazione parametrica

Question

Salve mi aiutate con un problemino con un'equazione parametrica e sulla parabola? Assegnata l'equazione parametrica y = ax^2+(a-1)x-1, con a appartenete ai reali R, determinare il valore del parametro a in modo tale che la parabola da essa rappresentata: a) abbia come asse di simmetria la retta di equazione x = -1 ; risultato a = -1. b) Volga la concavità verso il basso;  risultato a

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

Ciao Elis!

Consideriamo l'equazione parametrica

e tieni sotto mano le formule della parabola.

Per fare sì che:

a) abbia come asse di simmetria la retta di equazione x= -1 ; risultato a=-1

dobbiamo richiedere che l'ascissa del vertice della parabola sia uguale a , e quindi

cioè

da cui

ossia

b) Volga la concavità verso il basso; risultato a<0.

Per avere una parabola rivolta verso il basso, il coefficiente del termine di secondo grado deve essere negativo, quindi .

c) Abbia, nel punto A(0;-1), retta tangente di coefficiente angolare m=+3; risultato a=4

In questo caso bisogna mettere a sistema l'equazione della parabola e l'equazione della retta tangente. L'equazione della retta tangente possiamo ricavarla dalla formula della retta per un punto con coefficiente angolare

ed è

cioè

A questo punto risolviamo il sistema

e troviamo

ossia

Per fare in modo che questa equazione abbia due soluzioni coincidenti (condizione di tangenza retta parabola) dobbiamo richiedere che il determinante dell'equazione di secondo grado sia uguale a zero, e quindi

e quindi

Se hai dubbi, non esitare a chiedere...

Namasté!