Soluzioni
  • Ciao Antonio95, facciamo così: ti do il procedimento generale per le equazioni letterali fratte e lo applichiamo alla prima equazione. Per la seconda equazione, lo svolgimento sarà del tutto simile,  ma se vuoi vederlo scritto ti chiedo la cortesia di aprire una nuova domanda (come da regolamento). Ok? Smile

    Equazione letterale fratta

    Primo passo: CONDIZIONI DI ESISTENZA delle soluzioni

    Il che vuol dire prendere i denominatori, contenenti la x, che ci sono nell'equazione e porli diversi da zero (questo perchè non si può mai dividere per zero, e dobbiamo escludere tutti gli eventuali valori di x che annullano anche solo un denominatore)

    Abbiamo tre denominatori: a,\ x-2,\ a

    dobbiamo porre diverso da zero: x-2≠0, ossia x≠2 (C.E.). Invece a, che è un parametro e non un'incognita, lo devi considerare come se fosse un numero (qualsiasi, ma non può essere zero, perchè anche lui si trova a denominatore).

    Secondo passo: SVOLGIMENTO

    Dobbiamo fare i conti per arrivare ad avere la sola x a sinistra dell'uguale:

    Nel nostro caso portiamo ciò che è a destra dell'uguale a sinistra

    \frac{x+2}{a} - \frac{1}{x-2} - \frac{1}{a} =0

    Denominatore comune delle frazioni algebriche: a(x-2)

    \frac{(x+2)(x-2) - a - (x-2)}{a(x-2)}=0

    facciamo i calcoli ed eliminiamo il denominatore, che grazie alle CE non può essere zero.

    x^2-4-a-x+2= 0

    Abbiamo un'equazione di secondo grado

    x^2-x-(a+2)=0

    TERZO PASSO: DISCUSSIONE DELLE SOLUZIONI IN DIPENDENZA DAL PARAMETRO a

    Adesso dobbiamo semplicemente calcolare il discriminante:

    \Delta=1+4(a+2)=4a+9

    Ora, se il discriminante è minore di zero, cioè a< -9/4, allora l'equazione è impossibile.

    Se il discriminate è uguale a zero, cioè a=-9/4, allora ci sono due soluzioni coincidenti. L'equazione è infatti in questo caso

    x^2-x+\frac{1}{4}=0

    cioè

    \left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0

    ed ha soluzione x=1/2.

    Se il discriminante è positivo, cioè a>-9/4 (ma pur sempre a diverso da zero, per le CE) allora ci sono due soluzioni distinte che dipendono dal paramentro a e sono date da:

    x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{4a+9}}{2}.

    Namasté - Agente Ω

    Risposta di Omega
 
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