Ricavare le proprietà di una funzione dal grafico
Il mio professore ci ha proposto un problema: dobbiamo ricavare le caratteristiche di una funzione a partire dal suo grafico. Tra le altre cose, dovrei calcolare il dominio della funzione e stabilire se è continua e derivabile. Infine mi viene chiesto di calcolare un integrale.
Sia data la funzione 
il cui grafico è
(a) Qual è il dominio di ?
(b) Calcolare 
.
(c) La funzione è continua nel dominio? Se la risposta è no, classificare gli eventuali punti di discontinuità.
(d) Determinare l'insieme dei punti interni del dominio in cui è derivabile.
(e) Calcolare l'integrale di sul dominio.
Grazie.
Il problema ci chiede di ricavare alcune caratteristiche notevoli della funzione a partire dal suo grafico. Dobbiamo: esplicitare il dominio della funzione; determinare il valore che la funzione assume in 
; studiare la continuità e la derivabilità della funzione; calcolare l'integrale definito sul dominio.
Sia la funzione il cui grafico è:
Dominio della funzione
è ben definita per tutti i punti dell'intervallo ![[−1,2]](data:image/gif;base64,R0lGODlhMAASAOMAAP///wAAACIiIjAwMIqKira2tmJiYubm5szMzFBQUHR0dJ6enhYWFkBAQAwMDAQEBCH5BAEAAAAALAAAAAAwABIAAAShEAAxiLw4682zGoMUdt0hFOSlGI2wYOOYYkiiBG+qHBISWKLgbIObOVAixyU2JOZID8UlEVgKm5giFjBQCmVbgLZ5+Fm54ct4KDDArgWBfE53Z58zg/0M3q5JBHt8aRJ/HAtSEntMhGsIAzwYBQ0LlQQNg1sHCQIBDAlIBQGJFw8Bp6cyjIQbQEOrrBmuM7CxEguRr1e2ErO0EhS+vDMfAxEAOw==){kind=small}
: per ogni ![x_0∈ [−1,2]](data:image/gif;base64,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){kind=small}
è infatti possibile determinare univocamente il valore che assume in 
.
Scriviamo quindi che:
![Dom(f) = [−1,2]](data:image/gif;base64,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){kind=small}
Valutazione della funzione in 0
Il secondo punto dell'esercizio chiede di calcolare il valore che assume in . Dal grafico di è evidente che se , allora
Studio della continuità
è una funzione continua negli insiemi ![[−1,0) e (0,2]](data:image/gif;base64,R0lGODlhbAATAOMAAP///wAAACIiIjAwMIqKira2tmJiYubm5szMzFBQUHR0dJ6enhYWFgQEBEBAQAwMDCH5BAEAAAAALAAAAABsABMAAAT+EMhJq704A6U7PpwnWsJAjKh3OKnnHK2mDINUx4dQiIShGAsKIRSzAIW+Y+fnEAQntxsKkVAEnpqFYMLYcYsXBkXL9WIUMAAicLK5i1ePoL2RAnxgIREwn8w0D2YDD1BvMXEdAWYLDRQFW3kSAggUihOMGg1ECQGFAHYpiBlrlBIFAWkSjRk+Cg6lF6sSpBOnqR2DnqAoohinsL+VGQ4Gs7IWx8GmAbAaB2y6YL0XygDVAA+3E7QSD1gUCIS1zOPNGQLF0aYC7O3u6RPTFmuLqBTZFwRsBPwO39viZlmSsMBeBwPw3uwaIc+CKALHAEScoE/EgYgPJ1roYSGKtH+ZFwQQMQBKoxpy2zBEFDmBZIcFI9Ud+oZggDYyEhg0e5QhgRQ0GCaNgQRA5yybFQr4W7CAAAuFLQ4kEBCAQQIvp/ZI6EEgwT8DdC4oqKLAjAUFWrl6Hae1QYC3b6V4jFQhrAcxdAHkQGFXw9y8W1HABAzg6oi+Gf7mXaAtwwrCEp6+bJzYUF7EZyjnAeEBM4YbJTxDHk1aLI0IADs=){kind=small}
, mentre in è un punto di discontinuità a salto, non a caso i limiti destro e sinistro per 
sono finiti, ma non coincidono tra loro, né con il valore che assume in
Studio della derivabilità nei punti interni al dominio
è una funzione derivabile in tutti i punti degli intervalli 
, infatti è:
- costante in 
;
- lineare in 
;
- lineare affine in 
.
Non può essere derivabile nell'origine giacché non è nemmeno continua in questo punto: ricordiamo che la continuità in un punto è condizione necessaria per la derivabilità nel punto!
è infine un punto di non derivabilità: lo si evince dal grafico che è un punto angoloso.
Calcolo dell'integrale definito
L'ultimo punto dell'esercizio chiede di calcolare l'integrale definito
che, in virtù delle proprietà degli integrali, possiamo esprimere come somma tra l'integrale da 
a 
e quello da a 
.
In accordo con l'interpretazione geometrica di integrale, il primo coincide con l'area del quadrato di lato 
, mentre il secondo coincide con l'area del triangolo isoscele di base 
e altezza 
Abbiamo finito!
Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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