Soluzioni
  • Facciamo come l'altra volta (ti ricordi?)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok.

    Ho appena mandato l'e-mail.

    Risposta di mery
  • image3347

     

    Eccola :) Qual'è la richiesta dell'esercizio?

    Risposta di Omega
  • il testo dice:

    Sia f : R --> R una funzione la cui derivata f' : R \{0}.
    Quale tra le seguenti asserzioni è FALSA?
    - Se f(-3) =-1,allora ∫-3 -1 allora f(x)dx = 0
    -f ha sempre un massimo assoluto
    - f ha un punto di flesso
    - f non è limitata inferiormente
    - f ristretta a ]0; 2[ è la restrizione di una
    parabola il cui grafico volge la concavità verso
    l'alto
    Potresti spiegarmi i vari punti?
    Risposta di mery
  • Vediamo perché e quali delle seguenti affermazioni sono vere, così individuamo quella falsa.

    - Se f(-3) =-1,allora ∫-3 -1 f(x)dx = 0

    Vero, perché la funzione cresce linearmente con pendenza 1 tra -3 e -1: prova a disegnarne il grafico (è una retta parallela alla bisettrice del primo-terzo quadrante che parte dal punto (-3,-1) e arriva nel punto {tex}(-1,1){/tex})

    -f ha sempre un massimo assoluto

    Vero, basta dedurre la crescita della funzione dal grafico della derivata prima

    - f ha un punto di flesso

    Falso: la derivata prima non è derivabile nel punto x=2

    - f non è limitata inferiormente

    Vero, perché ha derivata negativa e lineare da x=3 in poi

    - f ristretta a ]0; 2[ è la restrizione di unaparabola il cui grafico volge la concavità verso l'alto

    Vero, perché nel tratto considerato la derivata prima è prima negativa e lineare e dopo positiva e lineare

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • - f ha sempre un massimo assoluto: mi chiedo perchè è assoluto e non relativo?

    - f ha un punto di flesso: come facciamo a vedere che in x=2 la funzione non è derivabile?

    - f ristretta a ]0; 2[ è la restrizione di unaparabola il cui grafico volge la concavità verso l'alto: la derivata prima non è prima positiva e poi negativa?

    Potresti togliermi questi dubbi?

    Risposta di mery
  • Certamente!

    -f ha sempre un massimo assoluto : mi chiedo perchè è assoluto e non relativo?

    Assoluto e non relativo perché basta guardare il comportamento della derivata prima agli estremi del dominio. Ricordati che stiamo guardando il grafico della derivata prima e non il grafico della funzione...La funzione ha crescita costante, poi c'è un punto di non derivabilità, poi decresce-cresce-cresce-decresce, rimanendo sempre derivabile tranne che nel punto x=2, in cui è comunque continua. Un massimo assoluto c'è necessariamente.

    f ha un punto di flesso:come facciamo a vedere che in x=2 la funzione non è derivabile?

    Cerco di rendere l'idea: hai presente il grafico del modulo |x| in x=0?

    - f ristretta a ]0; 2[ è la restrizione di unaparabola il cui grafico volge la concavità verso l'alto: la derivata prima non è prima positiva e poi negativa?

    No, tra zero ed 1 è negativa, poi traa 1 e 2 è positiva

    Se hai dubbi, sono qui!

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • f ha un punto di flesso: come facciamo a vedere che in x=2 la funzione non è derivabibile?

    se io dico che in x=2 il lim destro è diverso da quello sinistro, è giusto?

    Risposta di mery
  • Se parliamo della derivata seconda, certamente, infatti trovi

    \lim_{x\to 2^-}{f''(x)}=+1

    \lim_{x\to 2^+}{f''(x)}=-1

    Risposta di Omega
  • ma per la f' non è la stessa cosa?

    Cioè voglio dire che x=2 non è derivabile perchè calcolando i lim, essi sono diversi

    Risposta di mery
  • No, la derivata prima, che poi è quella rappresentata nel grafico, ha limiti sinistro e destro uguali al tendere di x a 2. La derivata prima è continua nel punto x=2, perché non dovrebbe esserlo?

    Risposta di Omega
  • Scusami,ma non capisco.

    alla domanda :f ha un punto di flesso, la risposta è falsa.

    il flesso non è un punto dove la f cambia di concavità?se si,in x=2 la f non cambia, iniziando a scendere?

    Risposta di mery
  • Scusami,ma non capisco.

    alla domanda :f ha un punto di flesso, la risposta è falsa.

    il flesso non è un punto dove la f cambia di concavità?se si,in x=2 la f non cambia, iniziando a scendere?

    oppure dato che il grafico rappresenta la derivata prima il flesso non centra, esso si vede con la derivata seconda?(immagino che l'hai capito, ma sono molto confusa...........,ne capisco poco.....)Cry

    Risposta di mery
  • Ciao Mery, vediamo di risolvere una volta per tutte Wink

    Risposta di Omega
  • ok omega, lo so che sono stressante......ma altrimenti non passo l'esame...... 

    Risposta di mery
  • Facciamo una bella cosa: riguardiamo ad una ad una le affermazioni dell'esercizio. Purtroppo le risposte vero/falso sono molto stringenti e l'interpretazione del testo conta moltissimo. Riguardandole una ad una avremo la certezza di non sbagliare.

    La prima: se f(-3)=-1, allora 

    \int_{-3}^{-1}{f(x)dx}=0

    Vera. La funzione infatti deve essere della forma y=x+2.

    Siamo d'accordo?

    Risposta di Omega
  • si

    Risposta di mery
  • Ora (a parte che non sei stressante, siamo qui apposta per parlare di Matematica Wink se non ci piacesse farlo, potremmo aver commesso qualche errore Laughing) passiamo a

    f:(0,2) è la restrizione di una parabola il cui grafico volge la concavità verso l'alto

    Vero: in (0,1) la derivata prima è negativa e lineare, poi in (1,2) è positiva e lineare. Quindi f(x)( ristretta a (0,2) è una parabola (quadratica) ed è decrescente prima di x=1 e crescente poi, dunque ha la concavità rivolta verso l'alto. Siamo d'accordo? :)

    Risposta di Omega
  • si, su questo siamo d'accordo.

    Ora, nei prossimi punti, cioè di mass., e flesso ti faccio mettere le mani nei capelli.........come si suole dire...... 

    Risposta di mery
  • Ahahahaah!! Sono pronto! Laughing

    f ha semre un massimo assoluto: osserva che la funzione, per ascisse negative, ha derivata costante e quindi deve necessariamente essere una retta.

    Nel punto x=0 la derivata prima ha un punto di discontinuità di prima specie, quindi la funzione ha un punto angoloso. Tra (0,1) decresce come una funzione quadratica perché ha derivata negativa e lineare, poi tra (1,2) cresce come una funzione quadratica perché ha derivata positiva e lineare. Poi, continua a decrescere come una funzione quadratica, quindi ha limite -\infty per x\to +infty.

    Di conseguenza, non è limitata inferiormente: vero. Ammette un massimo assoluto, che è il valore massimo raggiunto in corripondenza del punto angoloso. Vero.

    Ora: ha un massimo assoluto, ma non ha un punto di passimo assoluto, perché la derivata prima non è definita in x=0. Siamo d'accordo...?

    Risposta di Omega
  • non capisco questa frase:

    ha un massimo assoluto, ma non ha un punto di passimo assoluto, perché la derivata prima non è definita in x=0

    Risposta di mery
  • Nel senso che la funzione ha un valore massimo assoluto (ordinata), ma non ha un punto di massimo (ordinata) che lo realizza in senso proprio, perché è vero che in corrispondenza di quel punto si ha una variazione della monotonia della funzione, ma non si ha la condizione di annullamento della derivata prima, che in x=0 non è definita.

    Risposta di Omega
  • ma allora il valore max è x=0, x=2, oppure entrambi?

    E poi se la funzione tende a oo, perchè il max è assoluto e non relativo?

    Risposta di mery
  • Occhio che la funzione tende a meno infinito e non a più infinito per x tendente a più infinito, quindi il massimo assoluto ci può essere eccome.

    Il valore (ordinata) di massimo assoluto non lo conosciamo, questo valore viene realizzato in corrispondenza del punto (ascissa) x=0, che però non consente l'annullamento della derivata prima. Fai attenzione a non confondere punti di massimo (ascisse) e valori di massimo (ordinate) Wink

    Risposta di Omega
  • ecco,qual'era il problema,

     la funzione tende a meno infinito e non a più infinito per x tendente a più infinito,... (mi hai illuminato...)  

    e per x-->-oo f'(x)=1? 

    Risposta di mery
  • Il limite della funzione è ancora -\infty, perché essendo la derivata costante la funzione deve essere lineare. Poiché la derivata vale 1, deve essere una retta con coefficiente angolare 1. Non si sa per che punti passa, e non se ne conosce l'ordinata all'origine, ma, dovendo essere una retta parallela alla bisettrice del primo-terzo quadrante, a meno infinito deve tendere a meno infinito. Ti torna?

    Risposta di Omega
  • ora si che torna. 

    mi dai dei particolari che io sconosco......

    E per il p. di flesso.....?(siamo fuori orario........?)

    Risposta di mery
  • Non preoccuparti del fuori orario, hai risposto in tempo, e di certo non ti lascio senza replica solo perché l'orario è terminato. Al massimo, dopo questa mia replica, c'è il Forum. Oppure domani: non scappiamo mica Laughing

    Per il punto di flesso, vige un ragionamento simile: si ha una variazione di convessità della funzione, ma non si annulla la derivata seconda della funzione, cioè non si annulla la derivata prima della derivata prima. Questo perché la derivata prima non è derivabile nel punto e dunque non è nemmeno definita in tale punto!

    Quindi, ciò che traae in inganno è che si ha una variazione di convessità. MA, condizione necessaria affinchè un punto possa definirsi di flesso è che la derivata seconda si annulli in tale punto. La derivata seconda non è definita in tale punto, e dunque non può annullarsi. x=2 non è un punto di flesso per la funzione considerata!

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Omega, ormai dirti grazie e  riduttivo!!!!!!!!Wink

    Risposta di mery
  • Sei la benvenuta, sono felice di essere di aiuto! Laughing

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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