Soluzioni
  • Il problema ci chiede di ricavare alcune caratteristiche notevoli della funzione a partire dal suo grafico. Dobbiamo: esplicitare il dominio della funzione; determinare il valore che la funzione assume in x_0=0; studiare la continuità e la derivabilità della funzione; calcolare l'integrale definito sul dominio.

    Sia f(x) la funzione il cui grafico è:

     

    Ricavare le proprietà di una funzione dal grafico

     

    Dominio della funzione

    f(x) è ben definita per tutti i punti dell'intervallo [-1,2]: per ogni x_0\in [-1,2] è infatti possibile determinare univocamente il valore che f(x) assume in x_0.

    Scriviamo quindi che:

    \mbox{Dom}(f)=[-1,2]

    Valutazione della funzione in 0

    Il secondo punto dell'esercizio chiede di calcolare il valore che f(x) assume in x_0=0. Dal grafico di f(x) è evidente che se x_0=0, allora

    f(x_0)=f(0)=\frac{1}{2}

    Studio della continuità

    f(x) è una funzione continua negli insiemi [-1,0)\ \mbox{e} \ (0,2], mentre in x_0=0 è un punto di discontinuità a salto, non a caso i limiti destro e sinistro per x\to 0 sono finiti, ma non coincidono tra loro, né con il valore che f(x) assume in x_0=0

    \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0\ \ \ ; \ \ \ \lim_{x\to 0^{-}}f(x)=1 \ \ \ ;\ \ \ f(0)=\frac{1}{2}

    Studio della derivabilità nei punti interni al dominio

    f(x) è una funzione derivabile in tutti i punti degli intervalli (-1,0),\ (0,1), \ (1,2), infatti è:

    - costante in (-1,0);

    - lineare in (0,1);

    - lineare affine in (1,2).

    Non può essere derivabile nell'origine giacché non è nemmeno continua in questo punto: ricordiamo che la continuità in un punto è condizione necessaria per la derivabilità nel punto!

    x_1=1 è infine un punto di non derivabilità: lo si evince dal grafico che è un punto angoloso.

    Calcolo dell'integrale definito

    L'ultimo punto dell'esercizio chiede di calcolare l'integrale definito

    \int_{-1}^{2}f(x)\,dx=

    che, in virtù delle proprietà degli integrali, possiamo esprimere come somma tra l'integrale da -1 a 0 e quello da 0 a 2.

    =\int_{-1}^{0}f(x)\,dx+\int_{0}^{2}f(x)\,dx=

    In accordo con l'interpretazione geometrica di integrale, il primo coincide con l'area del quadrato di lato \ell=1, mentre il secondo coincide con l'area del triangolo isoscele di base b=2 e altezza h=1

    =\ell^2+\frac{b\cdot h}{2}=1+\frac{2\cdot 1}{2}=2

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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