Esercizio sulle tangenti a una parabola

Question

Aiutatemi per favore a risolvere un esercizio sulla parabola: mi viene chiesto di ricavare le equazioni delle rette tangenti a una parabola e passanti per un punto. Determinare le equazioni delle rette tangenti alla parabola p di equazione p: y = -x^2+(3)/(2) condotte dal punto P((1)/(2),(7)/(2)) Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Per scrivere l'equazione delle rette tangenti alla parabola, descritta da p: y = -x^2+(3)/(2) e passante per il punto P(x_P,y_P) = ((1)/(2),(7)/(2)), occorre innanzitutto scrivere l'equazione del fascio di rette centrate in P ; F: y-y_(P) = m(x-x_P) ; F: y-(7)/(2) = m(x-(1)/(2)) che in forma esplicita diventa F: y = m(x-(1)/(2))+(7)/(2) dove m è un qualsiasi numero reale. Osserviamo che l'equazione scritta individua tutte le rette passanti per il punto P, ad eccezione della retta esclusa, descritta da: x = x_(P) → x = (1)/(2) Il prossimo passaggio prevede usare l'equazione della parabola e quella del fascio per comporre il sistema p ∩ F: y = -x^2+(3)/(2) ; y = m(x-(1)/(2))+(7)/(2) che risolveremo con il metodo di sostituzione m(x-(1)/(2))+(7)/(2) = -x^2+(3)/(2) ; y = m(x-(1)/(2))+(7)/(2) Studiamo a parte la prima relazione: essa dipende dalla sola variabile x e prende il nome di risolvente del sistema ; m(x-(1)/(2))+(7)/(2) = -x^2+(3)/(2) ; x^2+mx-(1)/(2)m+(7)/(2)-(3)/(2) = 0 ; x^2+mx-(1)/(2)m+2 = 0 ; 2x^2+2m x-m+4 = 0 Indicati con a,b,c rispettivamente il coefficiente del termine in x^2, quello del termine in x e il termine noto, posti cioè a = 2 , b = 2m , c = -m+4 il discriminante associato alla risolvente è: ; Δ = b^2-4ac = 4m^2-4·2·(-m+4) = 4m^2+8m-32 Esso ci serve per imporre la condizione di tangenza retta-parabola. In generale, infatti una retta è tangente a una parabola se e solo se è nullo il discriminante della risolvente associata al sistema. ; Δ = 0 → 4m^2+8m-32 = 0 ; m^2+2m-8 = 0 Calcoliamo le soluzioni dell'equazione di secondo grado in m soddisfatta dai valori ; m_(1,2) = (-b_(m)±√(b_(m)^2-4a_mc_m))/(2a_(m)) = (-2±√(4-4·1·(-8)))/(2·1) = (-2±√(36))/(2) = -4 = m_1 ; 2 = m_2 I valori m_1,m_2 rappresentano i coefficienti angolari delle rette tangenti alla parabola e passanti per il punto P:-a m = m_1 = -4 associamo l'equazione della retta tangente ; r_1: y = -4(x-(1)/(2))+(7)/(2) ; r_1: y = -4x+(11)/(2)-a m = m_2 = 2 associamo l'equazione della retta tangente ; r_2: y = 2(x-(1)/(2))+(7)/(2) ; r_2: y = 2x+(5)/(2) È fatta!