Soluzioni
  • Sia y=-x^2+\frac{3}{2} l'equazione della parabola.

    L'equazione della retta passante per il punto P\left(\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right) è:

    y-\frac{7}{2}=m\left( x-\frac{1}{2}\right) scrivendola in forma esplicita otteniamo:

    y= m\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{2}

    Affinché la retta sia tangente alla parabola dobbiamo pretendere che il sistema:

    \begin{cases}y= -x^2+\frac{3}{2}\\ y=m\left( x-\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{2}\end{cases}

    abbia un'unica soluzione.

    Procediamo per sostituzione:

    m\left( x-\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{2}= -x^2+\frac{3}{2}

    portando tutto a primo membro:

    x^2+m x-\frac{1}{2}m +\frac{7}{2}-\frac{3}{2}=0

    Facendo un po' di conti:

    \frac{1}{2}\left(2x^2+2m x-m+4\right)=0

    Poiché vogliamo che la retta sia tangente alla parabola pretendiamo che l'equazione di secondo grado appena scritta abbia una sola soluzione e questo avviene quando il discriminante della retta associata è 0:

    \Delta= 4 m^2+8m-32= 0

    Risolviamo quindi l'equazione per risolvere il problema:

    Il discriminante associato alla equazione

    4 m^2+8m-32= 0

    è:

    \Delta= 64+512= 576

    Le due soluzioni sono quindi:

    m_1= \frac{-8+\sqrt{576}}{8}= 2

    m_2= \frac{-8-\sqrt{576}}{8}= -4

    Abbiamo determinato i coefficienti angolari!

    Per m=2 la retta 

    y= m\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{2}

    diventa

    y= 2\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{2}= 2x-1+\frac{7}{2}= 2x+\frac{5}{2}

    Per m=-4

    la retta diventa:

    y= -4\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{2}= -4x+2+\frac{7}{2}= -4x +\frac{11}{2}

    Fine! ;)

    Risposta di Ifrit
 
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