Soluzioni
  • Per scrivere l'equazione delle rette tangenti alla parabola, descritta da

    p:\ y=-x^2+\frac{3}{2}

    e passante per il punto P(x_P,y_P)=\left(\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right), occorre innanzitutto scrivere l'equazione del fascio di rette centrate in P

    \\ \mathrm{F}:\ y-y_{P}=m(x-x_P) \\ \\ \\ \mathrm{F}:\ y-\frac{7}{2}=m\left(x-\frac{1}{2}\right)

    che in forma esplicita diventa

    \mathrm{F}:\ y=m\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{2}

    dove m è un qualsiasi numero reale.

    Osserviamo che l'equazione scritta individua tutte le rette passanti per il punto P, ad eccezione della retta esclusa, descritta da:

    x=x_{P}\ \ \ \to \ \ \ x=\frac{1}{2}

    Il prossimo passaggio prevede usare l'equazione della parabola e quella del fascio per comporre il sistema

    p\cap\mathrm{F}:\ \begin{cases}y=-x^2+\dfrac{3}{2}\\ \\ y=m\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{7}{2}\end{cases}

    che risolveremo con il metodo di sostituzione

     \begin{cases}m\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{7}{2}=-x^2+\dfrac{3}{2}\\ \\ y=m\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{7}{2}\end{cases}

    Studiamo a parte la prima relazione: essa dipende dalla sola variabile x e prende il nome di risolvente del sistema

    \\ m\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{2}=-x^2+\frac{3}{2} \\ \\ \\ x^2+mx-\frac{1}{2}m+\frac{7}{2}-\frac{3}{2}=0\\ \\ \\ x^2+mx-\frac{1}{2}m+2=0\\ \\ \\ 2x^2+2m x-m+4=0

    Indicati con a,b,c rispettivamente il coefficiente del termine in x^2, quello del termine in x e il termine noto, posti cioè

    a=2 \ \ , \ \ b=2m \ \ ,\ \ c=-m+4

    il discriminante associato alla risolvente è:

    \\ \Delta=b^2-4ac=4m^2-4\cdot 2\cdot (-m+4)= \\ \\ =4m^2+8m-32

    Esso ci serve per imporre la condizione di tangenza retta-parabola. In generale, infatti una retta è tangente a una parabola se e solo se è nullo il discriminante della risolvente associata al sistema.

    \\ \Delta=0 \ \ \ \to \ \ \ 4m^2+8m-32=0 \\ \\ m^2+2m-8=0

    Calcoliamo le soluzioni dell'equazione di secondo grado in m soddisfatta dai valori

    \\ m_{1,2}=\frac{-b_{m}\pm\sqrt{b_{m}^2-4a_mc_m}}{2a_{m}}=\frac{-2\pm\sqrt{4-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1}= \\ \\ \\=\frac{-2\pm\sqrt{36}}{2}=\begin{cases}-4=m_1\\ \\ 2=m_2\end{cases}

    I valori m_1,m_2 rappresentano i coefficienti angolari delle rette tangenti alla parabola e passanti per il punto P:

    - a m=m_1=-4 associamo l'equazione della retta tangente

    \\ r_1:\ y=-4\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{7}{2} \\ \\ \\ r_1:\ y=-4x+\frac{11}{2}

    - a m=m_2=2 associamo l'equazione della retta tangente

    \\ r_2:\ y=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{7}{2} \\ \\ \\ r_2:\ y=2x+\frac{5}{2}

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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