Derivata di funzione esponenziale con base non costante

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Dovrei calcolare la derivata di una funzione esponenziale a base variabile in cui figura un logaritmo. Sinceramente non capisco quale regola io debba utilizzare.

 

Calcolare la derivata della seguente funzione

 

f(x)=(\ln(x))^{3x-2}

 

Grazie mille.

Domanda di nea16

 
Soluzioni

  • Consideriamo la funzione

    f(x)=(\ln(x))^{3x-2}

    Essa è una funzione esponenziale a base variabile, vale a dire una particolare funzione in cui la variabile indipendente compare sia alla base (è l'argomento del logaritmo), sia all'esponente.

    L'esercizio ci chiede di calcolare la derivata di f(x) avvalendoci delle opportune tecniche di derivazione, ma prima usiamo la relazione fondamentale che lega il logaritmo con l'esponenziale

    A(x)^{B(x)}=e^{B(x)\ln(A(x))} \ \ \ \mbox{con} \ A(x)>0

    per riscrivere la funzione nella forma equivalente

    f(x)=e^{(3x-2)\ln(\ln(x))}

    A questo punto, possiamo avvalerci della regola per la derivata della funzione esponenziale in combinazione con la regola per la derivata di una funzione composta.

    \\ f'(x)=\frac{d}{dx}\left[e^{(3x-2)\ln(\ln(x))}\right]= \\ \\ \\ =e^{(3x-2)\ln(\ln(x))}\frac{d}{dx}[(3x-2)\ln(\ln(x))]=

    Esplicitiamo la derivata del prodotto tra (3x-2)\ \mbox{e} \ \ln(\ln(x))

    \\ =e^{(3x-2)\ln(\ln(x))}\left[\frac{d}{dx}[(3x-2)]\ln(\ln(x))+(3x-2)\frac{d}{dx}[\ln(\ln(x))]\right]=\\ \\ \\ e^{(3x-2)\ln(\ln(x))}\left[3\ln(\ln(x))+(3x-2)\cdot\frac{1}{\ln(x)}\cdot\frac{d}{dx}[\ln(x)]\right]=

    Derivato il logaritmo, l'espressione della derivata diventa

    =e^{(3x-2)\ln(\ln(x))}\left[3\ln(\ln(x))+\frac{3x-2}{x\ln(x)}\right]=

    Riscriviamo infine e^{(3x-2)\ln(\ln(x))} nella sua forma originale, (\ln(x))^{3x-2}:

    =(\ln(x))^{3x-2}\left[3\ln(\ln(x))+\frac{3x-2}{x\ln(x)}\right]

    In definitiva, la derivata di f(x) è:

    f'(x)=(\ln(x))^{3x-2}\left[3\ln(\ln(x))+\frac{3x-2}{x\ln(x)}\right]

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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