Soluzioni
  • Consideriamo la funzione

    f(x)=(\ln(x))^{3x-2}

    Essa è una funzione esponenziale a base variabile, vale a dire una particolare funzione in cui la variabile indipendente compare sia alla base (è l'argomento del logaritmo), sia all'esponente.

    L'esercizio ci chiede di calcolare la derivata di f(x) avvalendoci delle opportune tecniche di derivazione, ma prima usiamo la relazione fondamentale che lega il logaritmo con l'esponenziale

    A(x)^{B(x)}=e^{B(x)\ln(A(x))} \ \ \ \mbox{con} \ A(x)>0

    per riscrivere la funzione nella forma equivalente

    f(x)=e^{(3x-2)\ln(\ln(x))}

    A questo punto, possiamo avvalerci della regola per la derivata della funzione esponenziale in combinazione con la regola per la derivata di una funzione composta.

    \\ f'(x)=\frac{d}{dx}\left[e^{(3x-2)\ln(\ln(x))}\right]= \\ \\ \\ =e^{(3x-2)\ln(\ln(x))}\frac{d}{dx}[(3x-2)\ln(\ln(x))]=

    Esplicitiamo la derivata del prodotto tra (3x-2)\ \mbox{e} \ \ln(\ln(x))

    \\ =e^{(3x-2)\ln(\ln(x))}\left[\frac{d}{dx}[(3x-2)]\ln(\ln(x))+(3x-2)\frac{d}{dx}[\ln(\ln(x))]\right]=\\ \\ \\ e^{(3x-2)\ln(\ln(x))}\left[3\ln(\ln(x))+(3x-2)\cdot\frac{1}{\ln(x)}\cdot\frac{d}{dx}[\ln(x)]\right]=

    Derivato il logaritmo, l'espressione della derivata diventa

    =e^{(3x-2)\ln(\ln(x))}\left[3\ln(\ln(x))+\frac{3x-2}{x\ln(x)}\right]=

    Riscriviamo infine e^{(3x-2)\ln(\ln(x))} nella sua forma originale, (\ln(x))^{3x-2}:

    =(\ln(x))^{3x-2}\left[3\ln(\ln(x))+\frac{3x-2}{x\ln(x)}\right]

    In definitiva, la derivata di f(x) è:

    f'(x)=(\ln(x))^{3x-2}\left[3\ln(\ln(x))+\frac{3x-2}{x\ln(x)}\right]

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica