Soluzioni
  • Ciao David, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • (Purtroppo) non ho doti divinatorie, quindi senza sapere come comincia la dimostrazione non posso sapere da dove vengono dedotti determinati passaggi.

    Dato che sei un nostro utente aficionado Wink ti chiedo una cortesia: se vuoi fare domande su passaggi di dimostrazioni, è cosa buona e giusta scrivere la dimostrazione per intero, o meglio scrivere la dimostrazione dall'inizio fino al punto in cui c'è il passaggio che crea problemi.

    Un teorema può avere N dimostrazioni, non una sola. Rispondere ad una domanda del genere in tempi brevi è impresa al limite dell'impossibile...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Hai ragione Omega Laughing

    comunque l'inizio della dimostrazione è:

    Si ha \left |a_nb_n-ab\right |=\left |a_nb_n-a_nb +a_nb -ab\right |\le \left |a_nb_n-a_nb \right | + \left |a_nb -ab\right |=\left |a_n \right | \left | b_n-b \right | + \left| b \right | \left |a_n -a\right |

    Fissiamo ora \epsilon >0, e poichè an per ipotesi converge... (segue la parte che ho scritto prima)

    Risposta di David
  • Ok!!! Adesso sì! :)

    Dall'ultimo termine della disuguaglianza osserva che

    |a_n||b_n-b|+|b||a_n-a|\leq

    se |a_n-a|\leq \frac{\varepsilon}{2(|b|+1)}, allora

    \leq |a_n||b_n-b|+|b|\frac{\varepsilon}{2(|b|+1)}\leq

    inoltre essendo |a_n|\leq L

    \leq L|b_n-b|+|b|\frac{\varepsilon}{2(|b|+1)}\leq

    ora osserviamo che se trascuriamo il +1 a denominatore dividiamo per qualcosa di più piccolo e quindi otteniamo qualcosa di più grande

    \leq L|b_n-b|+|b|\frac{\varepsilon}{2|b|}=

    = L|b_n-b|+\frac{\varepsilon}{2}=

    e quindi ti basta prendere

    |b-b_n|\leq \frac{\varepsilon}{2L}

    per avere che

    = L|b_n-b|+\frac{\varepsilon}{2}\leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon

    e quindi guardando gli estremi della catena di disuguaglianza, trovi che la successione prodotto converge.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ma perchè da tutte le parti c'è il 2 a denominatore? Da dove sbuca?

    Risposta di David
  • scegli apposta quei valori di controllo

    \frac{\varepsilon}{2}

    per ciascuna delle due successioni, che tanto convergono: in questo modo poi arrivi ad avere una somma che è proprio \varepsilon

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ma nel fare questo passaggio:

    |b-b_n|\leq\frac{\varepsilon}{2L}"

    non ci vorrebbe un meno a destra o a sinistra?

    Comunque guardando gli estremi della catena di disuguaglianza, trovo che la successione prodotto converge, ma chi ce lo dice che converge proprio al prodotto dei limiti?

    Risposta di David
  • Il fatto che sei partito da

    |a_nb_n-ab|

    e che questa differenza diventa piccola a piacere (leggi: "minore di {\tex}\varepsilon{/tex}").

    Per quanto riguarda il meno a sinistra e a destra, temo di non aver capito, ma ad ogni modo quella disuguaglianza deriva dalla convergenza della successione \{b_n\}_n ed è costruita ad hoc per arrivare ad avere l'epsilon finale di maggiorazione...

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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