Calcolare un limite con il limite del prodotto di successioni
Avrei bisogno di una mano per calcolare il limite del prodotto di due successioni fratte. Il mio professore ha spiegato il teorema sul limite del prodotto di due successioni convergenti, per cui suppongo si debba usare proprio questo. Potreste aiutarmi?
Calcolare il seguente limite
![lim_(n → +∞)[((2+n^2+3n^3)/(n^3))·((12n^4+5n^3-18n^2-30)/(6n^4))]](/images/joomlatex/a/1/a1f75728f1e0de8ee798a527029f0ca5.gif)
Grazie.
Per calcolare il limite di successione
![lim_(n → +∞)[((2+n^2+3n^3)/(n^3))·((12n^4+5n^3-18n^2-30)/(6n^4))] =](/images/joomlatex/a/e/aebb0f4c7de3109f032d3b67097e769c.gif)
distribuiamo innanzitutto i denominatori a ciascun termine dei rispettivi numeratori
![= lim_(n → +∞)[((2)/(n^3)+(n)/(n^2)+(3n^3)/(n^3))·((12n^4)/(6n^4)+(5n^3)/(6n^4)-(18n^2)/(6n^4)-(30)/(6n^4))] =](/images/joomlatex/3/5/355b2323a8150551d0e99d7f0e0c73fe.gif)
dopodiché usiamo a dovere le proprietà delle potenze per semplificare i vari rapporti.
![= lim_(n → +∞)[((2)/(n^3)+(1)/(n)+3)·(2+(5)/(6n)-(3)/(n^2)-(5)/(n^4))]](/images/joomlatex/3/3/331fa29b3d4e096de814f62be0596e54.gif)
A questo punto osserviamo che gli addendi
che compongono il primo fattore tendono a zero per 
(sono successioni infinitesime) e lo stesso possiamo dire degli addendi 
per cui:- il limite del primo fattore è
- il limite del secondo fattore è invece
In virtù del teorema sul limite del prodotto di due successioni convergenti, il limite
![lim_(n → +∞)[((2)/(n^3)+(1)/(n)+3)·(2+(5)/(6n)-(3)/(2n^2)-(5)/(n^4))] =](/images/joomlatex/6/7/67ae81d261c079fd713477c3e4acecc1.gif)
si spezza nel prodotto di limiti
In definitiva concludiamo che:
![lim_(n → +∞)[((2+n+n^2+3n^3)/(n^3))·((12n^4+5n^3-18n^2-30)/(6n^4))] = 6](/images/joomlatex/d/9/d97d24ed08eb0c3fd23ca51a007ca13e.gif)
È fatta!
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