Soluzioni
  • La funzione da studiare è

    f(x)=3|x|+1+\sqrt{9x^2-9}

    In essa compaiono sia la funzione valore assoluto che la funzione radice il cui indice è pari. Nello studio di funzione la primissima cosa che bisogna fare è determinare il dominio.

    La presenza della radice quadrata impone la condizione

    9x^2-9\ge 0

    Il radicando infatti deve essere maggiore o uguale a zero. Quella ottenuta è una disequazione di secondo grado pura.

    9x^2-9\ge 0\iff 9x^2\ge 9\iff x^2\ge 1\implies x\le -1\vee x\ge 1

    Il dominio della funzione è di conseguenza

    \mbox{dom}(f)=(-\infty, -1]\cup [1, +\infty).

    Controlliamo se f(x) è una funzione pari o dispari.

    \\ f(-x)=3|-x|+1+\sqrt{9 (-x)^2-9}=\\ \\=3|x|+1+\sqrt{9x^2-9}=f(x)\quad\forall x\in\mbox{dom}(f)

    La funzione data è pari, di conseguenza il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'asse y.

    Procediamo con lo studio del segno della funzione, che in questo caso può essere effettuato tramite delle considerazioni qualitative.

    Osservando che la funzione data è somma di quantità non negative a cui viene aggiunto 1, pertanto essa è una funzione positiva.

    Inoltre, poiché è una funzione maggiore di zero per ogni valore del dominio, non ci possono intersezioni con l'asse delle ascisse. In più, essendo x=0\notin \mbox{dom}(f) non possono esserci nemmeno intersezioni con l'asse delle ordinate.

    Studiamo i limiti agli estremi infiniti del dominio, cominciando dal limite per x che tende a meno infinito.

    \lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}3|x|+1+\sqrt{9x^2-9}=

    Affinché x possa raggiungere -\infty essa dovrà diventare necessariamente una variabile negativa, e per definizione di valore assoluto si ha che

    |x|=-x\mbox{ per }x<0

    pertanto il precedente limite diventa

    \lim_{x\to -\infty}-3x+1+\sqrt{9x^2-9}=[+\infty+\infty]=+\infty

    Il limite si risolve con l'algebra degli infiniti.

    Vi è la possibilità che vi sia un asintoto obliquo, di equazione y=mx+q. Verifichiamolo impostando il limite che ci consentirà di calcolare il coefficiente angolare

    m=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{-3x+1+\sqrt{9x^2-9}}{x}=

    Cerchiamo di eliminare la forma indeterminata con i seguenti passaggi algebrici:

    =\lim_{x\to -\infty}-\frac{3x}{x}+\frac{\sqrt{x^2\left(9-\frac{9}{x^2}\right)}}{x}=

    ricordiamo che la radice quadrata di un prodotto di quantità non negative è uguale al prodotto delle radici dei singoli fattori

    =\lim_{x\to -\infty}-3+\frac{\sqrt{x^2}\sqrt{9-\frac{9}{x^2}}}{x}=

    Inoltre \sqrt{x^2}=|x| e poiché x tende a meno infinito |x|=-x dunque

    =\lim_{x\to -\infty}-3 +\frac{-x\sqrt{9-\frac{9}{x^2}}}{x}=

    Semplificando in modo opportuno

    =\lim_{x\to -\infty}-3-\sqrt{9-\frac{9}{x^2}}=-3-3=-6

    Il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo esiste ed è finito. Vediamo il termine noto

    \\ q=\lim_{x\to -\infty}f(x)-m x= \lim_{x\to -\infty}-3 x+1+\sqrt{9x^2-9}+6x=\\ \\=\lim_{x\to -\infty}3x+1+\sqrt{9x^2-9}=[-\infty+\infty]

    Siamo di fronte ad una forma di indecisione che possiamo risolvere eseguendo una razionalizzazione al contrario, moltiplicando e dividendo per 3x+1-\sqrt{9x^2-9}.

    =\lim_{x\to -\infty}\frac{(3x+1+\sqrt{9x^2-9})(3x+1-\sqrt{9x^2-9})}{(3x+1-\sqrt{9x^2-9})}=

    A questo punto eseguiamo il prodotto al numeratore osservando che in verità è un prodotto tra una somma e una differenza di quantità

    =\lim_{x\to -\infty}\frac{(3x+1)^2-(9x^2-9)}{3x+1-\sqrt{9x^2-9}}=

    Eseguiamo i conti

    =\lim_{x\to -\infty}\frac{10+6x}{3x+1-\sqrt{9x^2-9}}=

    Mettiamo in evidenza x^2 all'interno della radice presente al denominatore

    =\lim_{x\to -\infty}\frac{10+6x}{3x+1+\sqrt{x^2\left(9-\frac{9}{x^2}\right)}}

    Come prima utilizziamo le proprietà dei radicali e, tenendo a mente che \sqrt{x^2}=|x| e che x tende a - infinito, otteniamo

    =\lim_{x\to -\infty}\frac{10 + 6x}{1+3x +x \sqrt{9-\frac{9}{x^2}}}= 

    Mettiamo in evidenza x sia al numeratore che al denominatore

    \\ =\lim_{x\to -\infty}\frac{x\left(\frac{10}{x}+6\right)}{x\left(\frac{1}{x}+3+\sqrt{9-\frac{9}{x^2}}\right)}=\\ \\ \\=\lim_{x\to -\infty}\frac{\frac{10}{x}+6}{\frac{1}{x}+3+\sqrt{9-\frac{9}{x^2}}}=\\ \\ \\=\frac{6}{3+3}=1

    L'asintoto obliquo ha equazione

    y=-6x+1

    Poiché la funzione è pari, ed il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y, possiamo subito asserire che

    \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty

    Inoltre l'equazione dell'asintoto obliquo è y=6x+1.

    Dedichiamoci allo studio della derivata prima, ma prima riscriviamo la funzione f(x) per casi, usando la definizione di valore assoluto

    f(x)=\begin{cases}3x+1+\sqrt{9x^2-9}&\mbox{ se }x\ge 1\\ -3x+1+\sqrt{9x^2-9}&\mbox{ se}x\le -1\end{cases}

    Calcoliamo la derivata prima di ciascun ramo

    Se x>1 allora f(x)=3x+1+\sqrt{9x^2-9} pertanto la derivata prima è

    \\ f'(x)=3+\frac{18x}{2\sqrt{9x^2-9}}=\\ \\ \\=3+\frac{18x}{2\sqrt{9 (x^2-1)}}=\\ \\ \\=3+\frac{18x}{6\sqrt{x^2-1}}=3+\frac{3x}{\sqrt{x^2-1}}

    Abbiamo utilizzato la regola di derivazione della somma e la formula di derivazione per le funzioni composte

    Osserviamo che il segno della derivata prima per x>1 è positivo perché somma di quantità positive, di conseguenza la funzione di partenza è strettamente crescente per x>1.

    Se x<-1 allora f(x)=-3x +1+\sqrt{9x^2-9} pertanto

    \\ f'(x)=-3+\frac{18 x}{2\sqrt{9x^2-9}}=\\ \\ \\=-3+\frac{18 x}{2\sqrt{9(x^2-1)}}=\\ \\ \\=-3+\frac{18x}{6\sqrt{x^2-1}}=-3+\frac{3x}{\sqrt{x^2-1}}

    Per x<-1 la derivata prima è negativa, di conseguenza la funzione f(x) è monotona decrescente.

    Osserviamo che la funzione non è derivabile né in x=-1 e né in x=1, essi sono infatti punti di non derivabilità per f(x). Lo si dimostra facilmente con la definizione di derivata.

    Procediamo con il calcolo della derivata seconda, distinguendo i casi

    Se x<-1 allora f'(x)=-3+\frac{3x}{\sqrt{x^2-1}}

    di conseguenza

    f''(x)=\frac{3 \sqrt{x^2-1}-3x\cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}=

    eseguendo i calcoli e scrivendo la frazione di frazioni in forma normale scopriremo che l'espressione della derivata seconda per x<-1 è

    f''(x)=-\frac{3}{(-1+x^2)^{\frac{3}{2}}}

    Osserviamo che la derivata seconda per x<-1 è sempre e comunque negativa perché il denominatore è positivo, mentre il numeratore, -3 è negativo.

    Possiamo concludere che la funzione data per x<-1 è concava, e per simmetria assiale, la funzione sarà concava anche per x>-1.

    A titolo di cronaca, la derivata seconda per x>1 è

    f''(x)=-\frac{3}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}

    che è uguale a quella ottenuta per x<-1.

    È tutto: se vuoi disegnare il grafico della funzione puoi ricorrere al tool del link. ;)

    Risposta di Ifrit
 
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