Soluzioni
  • Ciao Francesca, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • (Tutto quello che ti serve lo trovi qui)

    Se consideriamo le funzioni

    f(x)=\frac{2x-5}{x+1}

    g(x)=2x+1

    1) Per verificare che f(x) è una corrispondenza biunivoca tra

    f:\mathbb{R}-\{1\}\rightarrow\mathbb{R}-\{2\}

    dobbiamo verificare che è iniettiva e suriettiva tra questi insiemi. 

    Per la suriettività, osserviamo che imponendo

    \frac{2x-5}{x+1}=y

    con y\neq 2 generico possiamo trovare una x che lo raggiunge:

    2x-5=yx+y

    da cui

    x(2-y)=y+5

    x=\frac{y+5}{2-y}

    per cui la funzione è suriettiva tra gli insiemi considerati.

    Per la iniettività, imponiamo per due valori x_1,x_2

    f(x_1)=f(x_2)

    e quindi, facendo i calcoli, troviamo

    \frac{2x_1-5}{x_1+1}=\frac{2x_2-5}{x_2+1}

    da cui

    x_1=x_2

    quindi la funzione è iniettiva nel dominio considerato.

    b)determinare la funzione composta h=f composto g ( io l'ho fatta e mi viene h:x--->4x-3/2(x+1), è giusto?)

    Corretto! La funzione composta è

    h(x)=f\circ g(x)=f(g(x))=\frac{4x-3}{2x+2}

    c) risolvere la disequazione h(|x|)>1

    Per risolvere la disequazione

    h(|x|)>1

    cioè

    \frac{4|x|-3}{2|x|+2}>1

    bisogna semplicemente distinguere tra due sistemi, di cui vanno unite le soluzioni: il primo è

    x\geq 0

    \frac{4x-3}{2x+2}>1

    Il secondo è

    x< 0

    \frac{-4x-3}{-2x+2}>1

    d) risolvere la disequazione f(|x-1|)<1

    È sufficiente procedere come nel punto precedente. Se ha difficoltà, fammi sapere!

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • non mi trovo con la d. Io ho fatto(sempre se non ho sbagliato) 4|x-1|/2|x-1|+2<1 poi ho fatto 

    x>0

    4x-7/2x<1                        

    x

    4x-7/2x>-1

    ho risolto ma non mi viene devo aver sbagliato qualcosa, forse l'ho impostata male?

    Risposta di Francesca
  • No, l'hai impostata correttamente! :) Con "è sufficiente procedere come nel punto precedente" intendevo ragionando in modo analogo, non esattamente allo stesso modo. Vuoi che la vediamo insieme?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok vediamola insieme

    Risposta di Francesca
  • Componendo la funzione f(x) (e non h(x)!) con |x-1|, troviamo che la disequazione

    f(|x-1|)<1

    è data da

    \frac{2|x-1|+5}{|x-1|+1}<1

    A questo punto bisogna risolvere i due sistemi

    x\geq 1

    \frac{2x+3}{x}<1

    che non ammette soluzioni

    e

    x< 1

    \frac{-2x+7}{-x+2}<1

    che ha soluzioni x compreso tra 2 e 5.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • uuuu ecco dove sbagliavo! grazie grazie mille

    Risposta di Francesca
 
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