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  • Eccomi, ciao Nello, il tempo di scrivere la risposta! Laughing

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo un'equazione con due valori assoluti

    |x^2-3x|=|x^2-4x|

    Qui abbiamo una equazione con due valori assoluti! Poco male, la prima cosa che bisogna fare è studiare i segni di tutti gli argomenti del valore assoluto:

    Cominciamo con il primo :)

    x^2-3x\ge 0 , fattorizzando:

    x(x-3)\ge 0

    Abbiamo un prodotto di due polinomi, esso è maggiore o uguale a zero se i fattori che lo compongono sono concordi, studiamo quindi i segni:

    x\ge 0 è banale

    x-3\ge 0\implies x\ge 3

    La disequazione x(x-3)\ge 0 è soddisfatta quindi per S_1: x\le 0\vee x\ge 3

    ciò significa che l'argomento del primo valore assoluto è positivo in S_1 e negativo altrove:

    Andiamo con la seconda 

    x^2-4x\ge 0 fattorizzando:

    x(x-4)\ge 0

    Vale lo stesso discorso fatto in precedenza:

    x\ge 0

    x-4\ge 0\implies x\ge 4

    In questo caso se x\le 0 o x\ge 4 allora l'argomento è positivo, è negativo altrove.

     

    A questo punto tabuliamo i segni degli argomenti dei valori assoluti:

    x^2-3x :  + + + + + + + 0 - - - - - - - - - 3 + + + + + + 4 + + + + + +

    x^2-4x :  + + + + + + + 0 - - - - - - - - - 3 - - - - - - - - - 4 + + + + + +

    Dobbiamo quindi studiare l'equazione in base ai segni che abbiamo tabulato.

    • Per x\le 0\vee x\ge 4

    x^2-3x\ge 0 di conseguenza |x^2-3x|= x^2-3x

    così come:

    x^2-4x\ge 0 di conseguenza |x^2-4x|= x^2-4x

    L'equazione originaria si riduce quindi a

    x^2-3x= x^2-4x portando al primo membro:

    -3x+4x=0\implies x=0

    Questa è la prima soluzione.

     

    •Per 0\lex\le 3

    x^2-3x\le 0 di conseguenza |x^2-3x|= -x^2+3x

    così come 

    x^2-4x\le 0 di conseguenza |x^2-4x|= -x^2+4x

    L'equazione originaria si riduce quindi a

    -x^2+3x= -x^2+4x portando al primo membro:

    +3x-4x=0\implies x=0

     

    • Per 3\le x\le 4

    x^2-3x\ge 0 di conseguenza |x^2-3x|= x^2-3x

    D'altro canto:

    x^2-4x\le 0 e quindi |x^2-4x|= -x^2+4x

    L'equazione diventa quindi:

    x^2-3x= -x^2+4x, portiamo al primo membro:

    2x^2-7x= 0

    x(2x-7)=0\implies x=0, x=\frac{7}{2}

     

    Concludendo le soluzioni sono x=0,x=\frac{7}{2}

    Risposta di Ifrit
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