Soluzioni
  • Per ottenere le eventuali soluzioni dell'equazione esponenziale

    2·2^(3x)-3·2^(2x)-3·2^(x)+2 = 0

    bisogna operare un'opportuna sostituzione, però prima di procedere, effettuiamo alcune considerazioni. La proprietà relativa a una potenza di una potenza, ossia

    a^(bc) = (a^(b))^(c)

    garantisce le seguenti uguaglianze

     2^(3x) = (2^(x))^(3) ; 2^(2x) = (2^(x))^2

    grazie alle quali l'equazione diventa

    2·(2^(x))^3-3·(2^(x))^2-3·2^(x)+2 = 0

    A questo punto dovrebbe essere evidente la sostituzione da operare: poniamo t = 2^(x) e osserviamo che la positività dell'esponenziale impone la positività dell'incognita ausiliaria t: in altri termini, poiché 2^(x) > 0 allora t > 0.

    La sostituzione consente di scrivere la seguente relazione

    2t^3-3t^2-3t+2 = 0

    ossia un'equazione di grado superiore al secondo che possiamo risolvere con la regola di Ruffini. Per poter innescare il metodo, dobbiamo sperare che esista una soluzione razionale del tipo (n)/(m) dove n e m sono numeri interi: sotto tale ipotesi il numeratore n dev'essere un divisore intero del termine noto, mentre il denominatore m deve dividere il coefficiente del termine di grado massimo - detto anche coefficiente direttivo.

    Nel caso considerato, la soluzione che consente di dare il via al metodo è pertanto del tipo (n)/(m) con n e m divisori interi di 2.

    Osserviamo che per t = -1, l'equazione è soddisfatta, infatti:

     2(-1)^3-3(-1)^2-3(-1)+2 = 0 ;-2-3+3+2 = 0 → 0 = 0

    Costruiamo a questo punto la tabella di Ruffini

    beginarrayc|ccccc|c 2 -3 -3 2 ; ;-1 -2 5 -2 ; hline 2 -5 2 0 endarray

    grazie alla quale scomponiamo l'equazione in t come

    (t+1)(2t^2-5t+2) = 0

    Applicando inoltre la legge di annullamento del prodotto, ricaviamo due equazioni

    t+1 = 0 → t = -1

    e

    2t^2-5t+2 = 0

    Quest'ultima è un'equazione di secondo grado, le cui soluzioni sono date dalla cosiddetta formula del delta: posto

    a = 2 , b = -5 , c = 2

    il discriminante associato all'equazione è

    Δ = b^2-4ac = (-5)^2-4·2·2 = 25-16 = 9

    mentre le soluzioni t_1, t_2 sono date da

     t_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-(-5)±√(9))/(4) = (5±3)/(4) = (5-3)/(4) = (1)/(2) = t_1 ; (5+3)/(4) = 2 = t_2

    L'equazione di terzo grado in t ha quindi tre soluzioni

    t = -1 , t = (1)/(2) , t = 2

    ma attenzione! Dobbiamo ritornare nell'incognita x per considerare l'esercizio concluso. Poiché t = 2^(x), la relazione t = -1 si tramuta nell'equazione esponenziale

    2^(x) = -1

    la quale però è impossibile perché i due membri a prescindere dal valore assunto da x: 2^(x) è sempre positivo, pertanto non potrà mai essere uguale a -1.

    La relazione t = (1)/(2) diventa invece

    2^(x) = (1)/(2) → 2^(x) = 2^(-1)

    da cui otteniamo x = -1.

    A t = 2 associamo infine l'equazione

    2^(x) = 2

    da cui

    x = 1

    Ora siamo in grado di concludere che l'equazione

    2·2^(3x)-3·2^(2x)-3·2^(x)+2 = 0

    ammette due soluzioni

    x = -1 , x = 1

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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