Soluzioni
  • Ciao Brizio92, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Eccoci. Premetto che abbiamo c'è abbiamo una guida che tratta la questione (in tutti i suoi aspetti possibili): calcolo di limiti con Taylor - click!

    Qui cercherò di essere sintetico e di andare direttamente al cuore della tua domanda.

    Il punto è delicato ma essenziale nel calcolo dei limiti: non c'è una regola generale, l'importante è fermarsi all'ordine minimo, in ciascuna somma/differenza, in modo che si possa "percepire" la differenza tra gli infinitesimi che costituiscono la somma/differenza stessa.

    Tipicamente bisogna spingersi oltre di un ordine rispetto all'ordine che consente di attuare qualche semplificazione mediante somma o sottrazione.

    In generale non è assolutamente è necessario arrestare gli sviluppi allo stesso ordine.

    La domanda non è affatto stupida e anzi rappresenta la "forca caudina" che impedisce a molti studenti di applicare correttamente gli sviluppi di Taylor nel calcolo dei limiti. Ed è un peccato, perché gli sviluppi di Taylor rappresentano uno strumento molto, molto potente...Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Prima cosa grazie mille :).

    Il fatto è, so che la difficoltà è quella di capire a che punto "fermarsi", il problema è che a volte il risultato lo trovo fermandomi ad un certo grado mentre, ma facendolo fermandomi ad un grado diverso, mi veniva lo stesso un risultato plausibile, e non capisco perchè l'uno è sbagliato e l'altro no.

    Ovviamente capisco qual'è il risultato perchè il libro lo porta o grazie al calcolatore di limiti, ma non riesco a capire dov'è il problema.

    Ti faccio un esempio: dato il limite per x che tende a zero di

    [ (1+x)*e^x -1 -2x] / [x*senx]

    ho provato la prima volta sviluppando e^x fino al primo grado, che mi da un secondo grado visto che lo andavo a moltiplicare con (1+x), mentre al denominatore ho sviluppato senx fino al secondo termine, quindi al terzo grado (x^3 / 3!) che diventa poi quarto grado essendo moltiplicato per x.

    Procedendo così la soluzione del limite era 1, che è sbagliato, riprovando, sviluppando e^x in modo che 'arrivi' al quarto grado, la soluzione che ho ottenuto era esatta (3/2).

    Il problema è che non capisco perchè nel primo caso era sbagliato non procedere, visto che mi sembra di non aver fatto errori algebrici e che comunque avevo una soluzione plausibile.

    Risposta di Brizio92
  • Prego, figurati! :)

    L'errore è dovuto all'aver sviluppato l'esponenziale fino al primo grado: indipendentemente dalla parentesi, sviluppare fino al primo grado equivale, se ci fai caso, ad applicare un limite notevole.

    La dura verità è che la regola che ti permetterà a priori di capire quando arrestare lo sviluppo richiede una buona dose di esperienza. Come regola, e come consiglio, ti posso suggerire: se vedi che dopo aver sviluppato e calcolato le differenze del caso non ti avanza nulla di una specifica funzione (una che hai sviluppato), allora devi aggiungere un ordine nello sviluppo.

    Procedi così per ogni sviluppo finché non trovi un infinitesimo che sopravvive in ciascun sviluppo. A quel punto hai la certezza di non sbagliare!

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Sei stato pazientissimo gentile e chiaro!!! GRAZIE!!! :)

    Risposta di Brizio92
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi