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  • Un insieme di generatori di uno spazio vettoriale V su un campo \mathbb{K} è un insieme di vettori che genera l'intero spazio. In altri termini

    X=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\}

    è un sistema di generatori di V se ogni elemento di V si può scrivere come combinazione lineare dei vettori di X, ossia se per ogni \mathbf{w} \in V esistono a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{K} tali che

    \mathbf{w}=a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n

    Ora, assumiamo come ipotesi che X sia un insieme di generatori di V e rispondiamo ai due quesiti.

    1) Se Y \subset X allora Y genera V. Vero o falso?

    Falso! Se da un insieme di generatori togliamo uno o più vettori non è detto che il nuovo insieme continui a generare lo stesso spazio vettoriale. Per convincersene supponiamo che sia

    X=\{(1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1)\}

    Tale insieme genera \mathbb{R}^3, infatti ogni \mathbf{w}=(a,b,c) \in \mathbb{R}^3 si può scrivere come combinazione lineare dei vettori di X:

    \mathbf{w}=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,0)

    Se da X togliamo un qualsiasi vettore e consideriamo, ad esempio,

    Y=\{(1,0,0), \ (0,1,0)\} \subset X

    tale insieme non genera più \mathbb{R}^3, tant'è vero che ogni vettore di \mathbb{R}^3 che non ha la terza componente nulla non si può scrivere come combinazione lineare dei vettori di Y.

    2) Se X \subset Y \subset V allora Y genera V. Vero o falso?

    Vero! Per dimostrarlo supponiamo che sia

    X=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\}

    Dal momento che X è un sistema di generatori di V, per ogni \mathbf{w} \in V esistono a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{K} tali che

    \mathbf{w}=a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n

    Ora, se

    Y=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_{n+1}, ... , \mathbf{v}_n\}

    è un qualsiasi insieme che contiene X, allora ogni \mathbf{w} \in V si può scrivere come

    \mathbf{w}=a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n+0\mathbf{v}_{n+1} + ... + 0\mathbf{v}_m

    il che vuol dire che Y continua a generare lo stesso spazio V.

    Abbiamo finito!

    Risposta di Galois
 
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