Dimensioni di un rettangolo equivalente a un rombo

Mi spiegate per cortesia come risolvere un problema con un rombo e un rettangolo equivalenti? Vi scrivo il testo e spero in un vostro aiuto...

 

Il perimetro di un rettangolo è 56 dm e la base è i 7/3 dell'altezza. Calcola la misura delle dimensioni di un rettangolo ad esso simile sapendo che la sua area è equivalente a quella di un rombo con le diagonali lunghe rispettivamente 50 dm e 10,29 dm.

 

Mi mostrate come risolverlo con le sostituzioni per favore? Grazie mille!

In Medie - Geometria - Domanda di Nbarulez

 
Soluzioni

  • Ciao Nbarulez :)

    Disegniamoci due rettangolo ed un rombo

     

    Problema con due rettangoli e rombo

     

    Come mostrato in figura indichiamo con b \mbox{ e } h le dimensioni del primo rettangolo, con B \mbox{ e } H le dimensioni del secondo rettangolo e con d \mbox{ e } D le diagonali del rombo.

    Dai dati forniti dal problema sappiamo che, per il primo rettangolo, la base è i 7/3 dell'altezza, ossia

    b=\frac{7}{3}h

    da cui possiamo ricavare il rapporto tra le dimensioni che è dato da

    \frac{b}{h}=\frac{7}{3}

    Passiamo ora al rombo (click per le formule) del quale possiamo subito calcolare l'area

    Area_{rombo}=\frac{d \times D}{2}=\frac{50 \times 10,29}{2}=257,25 \mbox{ dm}^2

    Possiamo ora dedicarci al secondo rettangolo, del quale dobbiamo trovare la misura delle dimensioni B \mbox{ ed } H sapendo che è equivalente al rombo ed è simile al primo rettangolo.

    Poiché due figure piane equivalenti hanno le stessa area abbiamo

    A_{rettangolo}=A_{rombo}=257,25 \mbox{ dm}^2

    ossia

    B \times H = 257,25 \mbox{ dm}^2

    Inoltre essendo i due rettangoli simili possiamo impostare la seguente proporzione tra le loro dimensioni:

    b:h=B:H

    Tale proporzione la possiamo riscrivere come

    \frac{b}{h}=\frac{B}{H}

    da cui, sapendo che

    \frac{b}{h}=\frac{7}{3}

    abbiamo

    \frac{B}{H}=\frac{7}{3}

    Infine, per ricavare la misura delle dimensioni del secondo rettangolo si può procedere come nei problemi sui segmenti con prodotto e rapporto oppure sfruttare le equazioni. Ad esempio, ponendo H=x, dall'ultima relazione scritta abbiamo

    \frac{B}{H}=\frac{7}{3} \to B=\frac{7}{3}x

    Sostituendo poi i valori trovati in

    B \times H = 257,25 \mbox{ dm}^2

    ricaviamo

    \frac{7}{3}x \times x = 257,25

    da cui

    x^2=\frac{3}{7}\times 257,25 =110,25

    Estraendo la radice quadrata troviamo il valore di x che è dato da

    x=\sqrt{110,25}=10,5

    Pertanto le dimensioni del secondo rettangolo sono

    H=10,5 \mbox{ dm}

    B=\frac{7}{3}x=\frac{7}{3}\times 10,5 =24,5 \mbox{ dm}

    Osserva che, ai fini della richiesta problema, è del tutto superfluo conoscere il perimetro del primo rettangolo. :)

    Risposta di Galois
 
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