Dimensioni di un rettangolo equivalente a un rombo

Mi spiegate per cortesia come risolvere un problema con un rombo e un rettangolo equivalenti? Vi scrivo il testo e spero in un vostro aiuto...

Il perimetro di un rettangolo è 56 dm e la base è i 7/3 dell'altezza. Calcola la misura delle dimensioni di un rettangolo ad esso simile sapendo che la sua area è equivalente a quella di un rombo con le diagonali lunghe rispettivamente 50 dm e 10,29 dm.

Mi mostrate come risolverlo con le sostituzioni per favore? Grazie mille!

Domanda di Nbarulez

Soluzioni

Disegniamo due rettangolo ed un rombo

Come mostrato in figura indichiamo con le dimensioni del primo rettangolo, con le dimensioni del secondo rettangolo e con le diagonali del rombo.
Dai dati forniti dal problema sappiamo che, per il primo rettangolo, la base è i 7/3 dell'altezza, ossia
$b=\frac{7}{3}h$
da cui possiamo ricavare il rapporto tra le dimensioni, che è dato da
$\frac{b}{h}=\frac{7}{3}$
Passiamo ora al rombo (click per le formule) del quale possiamo subito calcolare l'area
$Area_{rombo}=\frac{d \times D}{2}=\frac{50 \times 10,29}{2}=257,25 \mbox{ dm}^2$
Possiamo ora dedicarci al secondo rettangolo, del quale dobbiamo trovare la misura delle dimensioni sapendo che è equivalente al rombo ed è simile al primo rettangolo.
Poiché due figure piane equivalenti hanno le stessa area abbiamo
$A_{rettangolo}=A_{rombo}=257,25 \mbox{ dm}^2$
ossia
$B \times H = 257,25 \mbox{ dm}^2$
Inoltre essendo i due rettangoli simili possiamo impostare la seguente proporzione tra le loro dimensioni
Tale proporzione la possiamo riscrivere come
$\frac{b}{h}=\frac{B}{H}$
da cui, sapendo che
$\frac{b}{h}=\frac{7}{3}$
abbiamo
$\frac{B}{H}=\frac{7}{3}$
Infine, per ricavare la misura delle dimensioni del secondo rettangolo si può procedere come nei problemi sui segmenti con prodotto e rapporto oppure sfruttare le equazioni. Ad esempio, ponendo , dall'ultima relazione scritta abbiamo
$\frac{B}{H}=\frac{7}{3} \to B=\frac{7}{3}x$
Sostituendo poi i valori trovati in
$B \times H = 257,25 \mbox{ dm}^2$
ricaviamo
$\frac{7}{3}x \times x = 257,25$
da cui
$x^2=\frac{3}{7}\times 257,25 =110,25$
Estraendo la radice quadrata troviamo il valore di x che è dato da
$x=\sqrt{110,25}=10,5$
Pertanto le dimensioni del secondo rettangolo sono
$H=10,5 \mbox{ dm}$
$B=\frac{7}{3}x=\frac{7}{3}\times 10,5 =24,5 \mbox{ dm}$
Osserva che, ai fini della richiesta problema, è del tutto superfluo conoscere il perimetro del primo rettangolo. :)
Risposta di Galois