Limite fratto con seno e coseno per scomposizione

Question

Dovrei calcolare un limite con seno e coseno che genera una forma indeterminata del tipo 0 su 0. Il libro suggerisce di scomporre il numeratore usando qualche metodo di scomposizione notevole ma sinceramente non capisco quale. lim_(x → 0)(1-cos^3(x))/(xsin(x)cos(x)) Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il limite lim_(x → 0)(1-cos^3(x))/(xsin(x)cos(x)) = (•) genera la forma indeterminata [(0)/(0)] che può essere risolta mediante l'utilizzo dei limiti notevoli. Prima di tutto scomponiamo il numeratore secondo il prodotto notevole riguardante la differenza di cubi a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) ossia 1-cos^(3)(x) = (1-cos(x))(1+cos(x)+cos^(2)(x)) Grazie alla scomposizione il limite si esprime nella forma equivalente: (•) = lim_(x → 0)((1-cos(x))(1+cos(x)+cos^(2)(x)))/(xsin(x)cos(x)) = (• •) A questo punto possiamo usare le equivalenze asintotiche associate ai limiti notevoli del coseno e seno ; 1-cos(x) ~ _(x → 0)(1)/(2)x^2 ; sin(x) ~ _(x → 0)x oltre all'ovvia equivalenza ottenuta per passaggio al limite cos(x) ~ _(x → 0)1 Grazie a tali relazioni il limite diventa ; (• •) = lim_(x → 0)((1)/(2)x^2·(1+1+1))/(x·x·1) = lim_(x → 0)((1)/(2)x^2·3)/(x^2) = (3)/(2) Il risultato si ottiene semplificando x^2.