Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos^3{(x)}}{x\sin{(x)}\cos{(x)}}}=(\bullet)

    genera la forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] che può essere risolta mediante l'utilizzo dei limiti notevoli. Prima di tutto scomponiamo il numeratore secondo il prodotto notevole riguardante la differenza di cubi

    a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

    ossia

    1-cos^{3}{(x)}=(1-\cos{(x)})(1+\cos{(x)}+\cos^{2}{(x)})

    Grazie alla scomposizione il limite si esprime nella forma equivalente:

    (\bullet)=\lim_{x\to 0}{\frac{(1-\cos{(x)})(1+\cos{(x)}+\cos^{2}{(x)})}{x\sin{(x)}\cos{(x)}}}=(\bullet\bullet)

    A questo punto possiamo usare le equivalenze asintotiche associate ai limiti notevoli del coseno e seno

    \\ 1-\cos(x)\sim_{x\to 0}\frac{1}{2}x^2 \\ \\ \\ \sin(x)\sim_{x\to 0}x

    oltre all'ovvia equivalenza ottenuta per passaggio al limite

    \cos(x)\sim_{x\to 0}1

     Grazie a tali relazioni il limite diventa

    \\ (\bullet\bullet)=\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{2}x^2\cdot (1+1+1)}{x\cdot x\cdot 1}}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2\cdot 3}{x^2}=\frac{3}{2}

    Il risultato si ottiene semplificando x^2.

    Risposta di Ifrit
 
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