continuità e derivabilità

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 Ciao potete aiutarmi perfavore l'ho risolto ma non sono  sicura. 

mi esce cosi b=1 e poi a non so come -.-

 f(x) =    (2e^(ax^2))-b    se x≥0

              -ax^2+b             se x<0

 

mi chiedono determinare per qualli valori dei parametri a,b essa è continua e derivabile in x=0

grazie in antcipo :) 

Domanda di nea16

 
Soluzioni

  • Eccomi, ciao nea16, il tempo di scrivere la risposta e sono da te ;)

    Risposta di Ifrit

  • La funzione è:

    f(x) = 2 e^(a x^2)-b se x ≥ 0 ;-a x^2+b se x < 0

    Per la continuità in zero dobbiamo imporre che il limite destro e il limite sinistro, in zero,  della funzione coincidano. Cominciamo con il limite destro

    lim_(x → 0^+)f(x) = lim_(x → 0^+)2 e^(ax^2)-b = 2-b

    Il limite sinistro invece:

    lim_(x → 0^-)f(x) = lim_(x → 0^-)-a x^2+b = b

    imponendo l'uguaglianza dei due limiti otteniamo l'equazione:

    2-b = b da cui come giustamente hai detto abbiamo:

    b = 1

    Da qui abbiamo che la funzione è continua se e solo se b=1, mentre a è un parametro libero, inoltre sappiamo che f(0) = 1, ci servirà in seguito.

    Per la derivabilità in zero dobbiamo studiare il limite del rapporto incrementale destro e sinistro centrato in zero. Poiché è richiesta la continuità, abbiamo già che b=1, possiamo sostituirlo per facilitare i calcoli:

    Per b=1 la funzione diventa:

    f(x) = 2 e^(a x^2)-1 se x ≥ 0 ;-a x^2+1 se x < 0

    Costruiamo il limite del rapporto incrementale destro, centrato in zero.

    lim_(h → 0^+) (f(0+h)-f(0))/(h) = lim_(h → 0^+)(2 e^(a h^2)-1-1)/(h) =

    lim_(h → 0^+)(2 e^(a h^2)-2)/(h) = 0

    D'altro canto:

    lim_(h → 0^-)(f(0+h)-f(0))/(h) = lim_(h → 0^-)(-a h^2+1-1)/(h) =

    lim_(h → 0^-)(-a h^2)/(h) = lim_(h → 0^-)-a h = 0

    Il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale centrato in 0 esiste finito e vale zero. Il suo valore non dipende da a, quindi possiamo concludere (a meno che non abbia sgarrato i conti) che la funzione è continua e derivabile in 0 per b= 1 e per  per ogni a appartenente all'insieme dei numeri reali

    Risposta di Ifrit

  • eccolo, non sapevo come rispondere a questo ,anche a me porta  b=1 e poi 0 per quello ho pensato che era sbagliato , anche perche non sapevo come dare la risposta gia che 0 non dipendeva da niente . grazieeee milleeeee :)

    Risposta di nea16

  • Ti torna tutto quindi? Hai controllato tutti i conti? Bene, allora siamo contenti!

    Risposta di Ifrit

  • in realtà gia lo avevo fatto( di un'altra forma , la condizione di continuità uguale ma derivabilità ho calcolato la derivata prima di ogni termino e poi ho sostituito come ho fatto con la continuità cosi ci ha insegnato la prof , ma penso sia lo stesso)  ma come avevo detto non sapevo si stava bene perchè mi portaba 0 quando facevo la derivabilità, non sapevo come dare risposta a quello . visto che si esce b=1 posso dire che è continua e derivabile per b =1 ma l'altro usceva solo 0  e per quello  ho pensato che avevo sbagliato . comunque grazie di nuevo :) 

    Risposta di nea16

  • Prego!! :)

    Risposta di Ifrit
 
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