Soluzioni
  • Eccomi, ciao nea16, il tempo di scrivere la risposta e sono da te ;)

    Risposta di Ifrit
  • La funzione è:

    f(x)=\begin{cases}2 e^{a x^2}-b &\mbox{ se } x\ge 0 \\ -a x^2+b &\mbox{ se }x<0\end{cases}

    Per la continuità in zero dobbiamo imporre che il limite destro e il limite sinistro, in zero,  della funzione coincidano. Cominciamo con il limite destro

    \lim_{x\to 0^+}f(x)= \lim_{x\to 0^+}2 e^{ax^2}-b = 2-b

    Il limite sinistro invece:

    \lim_{x\to 0^-}f(x)= \lim_{x\to 0^-}-a x^2+b = b

    imponendo l'uguaglianza dei due limiti otteniamo l'equazione:

    2-b=b da cui come giustamente hai detto abbiamo:

    b=1

    Da qui abbiamo che la funzione è continua se e solo se b=1, mentre a è un parametro libero, inoltre sappiamo che f(0)= 1, ci servirà in seguito.

    Per la derivabilità in zero dobbiamo studiare il limite del rapporto incrementale destro e sinistro centrato in zero. Poiché è richiesta la continuità, abbiamo già che b=1, possiamo sostituirlo per facilitare i calcoli:

    Per b=1 la funzione diventa:

    f(x)=\begin{cases}2 e^{a x^2}-1 &\mbox{ se } x\ge 0 \\ -a x^2+1 &\mbox{ se }x<0\end{cases}

    Costruiamo il limite del rapporto incrementale destro, centrato in zero.

    \lim_{h\to 0^+} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}= \lim_{h\to 0^+}\frac{2 e^{a h^2}-1-1}{h}=

    \lim_{h\to 0^+}\frac{2 e^{a h^2}-2}{h}= 0

    D'altro canto:

    \lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}= \lim_{h\to 0^-}\frac{-a h^2+1-1}{h}=

    \lim_{h\to 0^-}\frac{-a h^2}{h}=\lim_{h\to 0^-}-a h=0

    Il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale centrato in 0 esiste finito e vale zero. Il suo valore non dipende da a, quindi possiamo concludere (a meno che non abbia sgarrato i conti) che la funzione è continua e derivabile in 0 per b= 1 e per  per ogni a appartenente all'insieme dei numeri reali

    Risposta di Ifrit
  • eccolo, non sapevo come rispondere a questo ,anche a me porta  b=1 e poi 0 per quello ho pensato che era sbagliato , anche perche non sapevo come dare la risposta gia che 0 non dipendeva da niente . grazieeee milleeeee :)

    Risposta di nea16
  • Ti torna tutto quindi? Hai controllato tutti i conti? Bene, allora siamo contenti!

    Risposta di Ifrit
  • in realtà gia lo avevo fatto( di un'altra forma , la condizione di continuità uguale ma derivabilità ho calcolato la derivata prima di ogni termino e poi ho sostituito come ho fatto con la continuità cosi ci ha insegnato la prof , ma penso sia lo stesso)  ma come avevo detto non sapevo si stava bene perchè mi portaba 0 quando facevo la derivabilità, non sapevo come dare risposta a quello . visto che si esce b=1 posso dire che è continua e derivabile per b =1 ma l'altro usceva solo 0  e per quello  ho pensato che avevo sbagliato . comunque grazie di nuevo :) 

    Risposta di nea16
  • Prego!! :)

    Risposta di Ifrit
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