Esercizio sul teorema di Lagrange
Un esercizio sul teorema di Lagrange mi chiede di determinare il punto c della tesi. Riporto qui di seguito la traccia, mi potreste spiegare come risolverlo?
Qual è il punto 
che soddisfa la tesi del teorema di Lagrange per la funzione 
nell'intervallo ![[4,7] ?](data:image/gif;base64,R0lGODlhMgASAOMAAP///wAAACIiIjAwMIqKira2tlBQUAwMDEBAQHR0dJ6enubm5mJiYszMzBYWFgQEBCH5BAEAAAAALAAAAAAyABIAAATGEAAxiLw4a53G2OD1aYURSkagriYwbo1CJIglvdiBnIChKIXgC5c52BaBwo0z2J0SmIRyCSIsLgEbEYhw8iQNBoZYPVxdmAW0+714qaeG44y+iAHstgI6/iLodQAKDRJ5X3MZZByJEmpubyENARqKGEGMAAQGmwYHDgZTIQkPlDwNgIEYApAgCA6lbX0aqxcNA6gSAgKwIQx8IhkFCAEPCIQFAb9jrJUXtLJfNm3NIdQY0l/WG9qCuNWx0CfY2eDOFeVPHuURADs=){kind=small}
Il teorema di Lagrange richiede come ipotesi che la funzione
sia:- continua sull'intervallo, estremi inclusi, per noi l'intervallo è
![[4,7]](data:image/gif;base64,R0lGODlhIgASAOMAAP///wAAACIiIjAwMIqKira2tlBQUAwMDEBAQHR0dJ6enubm5mJiYszMzBYWFgQEBCH5BAEAAAAALAAAAAAiABIAAASSEAAxiLw4a53GkJ9WGBtmBGhKAmGYHUh5GYpS3G7LDbEMJJhE4aLD2BA936XBwBQlCyBSiUmCrpcmYEoFKIBOrLch4VIdi0wxejH7GgFNkWCoGw4Ow9CXeMjFGAJWMggOfywbgksDaRoCAocuEgUIAQ8IZAUBYGqDiJ9UFl2fkj6iXU8+Co2ogDKnrRMVo1QdAxEAOw==)
;- derivabile sull'intervallo, estremi esclusi, per noi l'intervallo è
.Sotto tali ipotesi esiste un punto
interno all'intervallo tale che
La nostra funzione è
e ha dominio ![(-∞, 7]](data:image/gif;base64,R0lGODlhOwATAOMAAP///wAAAObm5nR0dEBAQGJiYp6enhYWFoqKiiIiIszMzAQEBAwMDFBQULa2tjAwMCH5BAEAAAAALAAAAAA7ABMAAATYEEggxrw46807JoInjuTwPFNhkCzZBHDcSKh0tLjXGIbj14AawpIrZoiSgWNSSyiMUI2icKktjIbDYjGbOB6EBpVEwFiLjq6DwQgNyhLB2GNA0gAKRrEbXzAQQBIIIR4HhEx4ehcOCY2Oj2N2AA4wh3EIHgoBGSgCVzmSAAQBfJceA59VEqktcxKML5gTCE8dBDdmEk45PF4JIaOyaRIKD5YTjZxJoSMIYg+lAwwLB3CTAcxgyhQJUMcT3wCyI0ANS1Ek4yKB1ugdBuEbgRXuHurr9fkYJg8RADs=)
. Ha senso quindi lavorare sull'intervallo dato.La funzione è sicuramente continua sull'intervallo
, per vedere se è derivabile su calcoliamone la derivata prima:
che è definita per
.Valutiamo la funzione agli estremi dell'intervallo:
quindi ci troviamo con l'equazione data dalla tesi del teorema, che è
ossia
Notiamo che
va trattato come se fosse l'incognita dell'equazione irrazionale. Cambiamo i segni ai due membri e moltiplichiamo a destra e a sinistra per 
cosicché l'equazione diventi:
Eleviamo entrambi i membri al quadrato così da sbarazzarci della radice quadrata
Dividiamo i due membri per 12 e semplifichiamo opportunamente
Isoliamo
a sinistra dell'uguale e scriviamo il risultato:
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