Soluzioni
  • Il teorema di Lagrange richiede come ipotesi che la funzione y=f(x) sia:

    continua sull'intervallo, estremi inclusi, per noi l'intervallo è [4,7];

    derivabile sull'intervallo, estremi esclusi, per noi l'intervallo è (4,7).

    Sotto tali ipotesi esiste un punto c interno all'intervallo tale che

    f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

    La nostra funzione è f(x)=\sqrt{7-x} e ha dominio (-\infty, 7]. Ha senso quindi lavorare sull'intervallo dato.

    La funzione è sicuramente continua sull'intervallo [4,7], per vedere se è derivabile su (4,7) calcoliamone la derivata prima:

    f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{7-x}}

    che è definita per x<7.

    Valutiamo la funzione agli estremi dell'intervallo:

    \\ f(4)=\sqrt{3}\\ \\ f(7)=0 \\ \\ b-a=7-4=3

    quindi ci troviamo con l'equazione data dalla tesi del teorema, che è

    f'(c)=-\frac{\sqrt{3}}{3}

    ossia

    -\frac{1}{2\sqrt{7-c}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}

    Notiamo che c va trattato come se fosse l'incognita dell'equazione irrazionale. Cambiamo i segni ai due membri e moltiplichiamo a destra e a sinistra per 6\sqrt{7-c} cosicché l'equazione diventi:

    2\sqrt{3}\sqrt{7-c}=3

    Eleviamo entrambi i membri al quadrato così da sbarazzarci della radice quadrata

    12(7-c)=9

    Dividiamo i due membri per 12 e semplifichiamo opportunamente

    7-c=\frac{3}{4}

    Isoliamo c a sinistra dell'uguale e scriviamo il risultato:

    c=7-\frac{3}{4}=\frac{25}{4}

    Risposta di Ifrit
 
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