Soluzioni
  • Per calcolare il limite

    \lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x+\arctan(x)}=

    possiamo usare la gerarchia degli infiniti, ma prima è opportuno effettuare qualche considerazione preliminare.

    Osserviamo che per x\to -\infty, l'argomento della radice quadrata si comporta come x^2 perché la costante additiva può essere trascurata. Si noti inoltre che al denominatore il termine 2x sovrasta l'arcotangente in quanto quest'ultima è una funzione limitata. In accordo con il principio di eliminazione, il limite dato diventa

    =\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2}}{2x}=

    Usiamo la relazione fondamentale che lega le radici quadrate al valore assoluto \sqrt{x^2}=|x|

    =\lim_{x\to-\infty}\frac{|x|}{2x}=

    La definizione di modulo inoltre garantisce l'uguaglianza |x|=-x in ogni intorno di -\infty contenuto in \mathbb{R}^{-}, per cui il limite si tramuta in:

    =\lim_{x\to-\infty}\frac{-x}{2x}=-\frac{1}{2}

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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