Problema con un limite per confronto tra infiniti

Ciao ragazzi in questo limite da risolvere per confronto tra infiniti ho un dubbio che riguarda un segno.

limite x -> -infinito di sqrt(x^2+3) / (2x + arctan(x))

So bene che questo limite viene -1/2, o meglio so bene che a me tornava 1/2 ma per la teoria degli infiniti e degli infinitesimi dovrebbe tornare come detto sopra. Però il procedimento che ho fatto m'induce a pensare che non ho ben chiaro qualcosa. Nel senso: da quel che mi risulta per risolverlo, essendo una forma indeterminata, mettiamo x² in evidenza lasciandolo da solo sopra al numeratore sotto radice in quanto quel 3 risulta "insignificante" e sotto stesso discorso per arctgx che, divenendo un numero reale, "perde di significato.

Ora però ci rimangono sopra x e sotto 2x, quindi semplificando dovrebbe venire 1/2. Da dove compare (in teoria) quel segno meno (pur sapendo che è un limite a -∞), dato che la variabile nei miei calcoli in fondo non rimane nemmeno?

Scusate questo mio continuo arrovelarsi sulle baggianate.