Soluzioni
  • Per calcolare il limite

    lim_(x → -∞)(√(x^2+1))/(2x+arctan(x)) =

    possiamo usare la gerarchia degli infiniti, ma prima è opportuno effettuare qualche considerazione preliminare.

    Osserviamo che per x → -∞, l'argomento della radice quadrata si comporta come x^2 perché la costante additiva può essere trascurata. Si noti inoltre che al denominatore il termine 2x sovrasta l'arcotangente in quanto quest'ultima è una funzione limitata. In accordo con il principio di eliminazione, il limite dato diventa

    = lim_(x → -∞)(√(x^2))/(2x) =

    Usiamo la relazione fondamentale che lega le radici quadrate al valore assoluto √(x^2) = |x|

    = lim_(x → -∞)(|x|)/(2x) =

    La definizione di modulo inoltre garantisce l'uguaglianza |x| = -x in ogni intorno di -∞ contenuto in R^(-), per cui il limite si tramuta in:

    = lim_(x → -∞)(-x)/(2x) = -(1)/(2)

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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