Problema su retta tangente ad una parabola

Abbiamo la retta di equazione  e la parabola di equazione 

La parabola e la retta sono tangenti tra loro se e solo se hanno un punto in comune, cioè la loro intersezione consiste di un solo punto, ciò equivale a chiedere che il sistema:

ammetta un'unica soluzione.

Procediamo per sostituzione, dalla prima equazione del sistema sappiamo che è uguale a , sostituiamo questo valore nella seconda equazione ed otteniamo:

Portiamo tutto al primo membro:

effettuiamo delle messe in evidenza parziali:

Affinché il sistema abbia un' unica soluzione dobbiamo pretendere che l'equazione

abbia una sola soluzione.

Ma questo avviene quando il discrimante associato è zero (condizione di tangenza parabola-retta), cioè:

da cui:

Dobbiamo trovare le soluzioni di questa equazione di secondo grado

Le due soluzioni sono:

Semplificando il due hai:

invece è:

Le due rette sono:

e l'esercizio è concluso. ;)