Soluzioni
  • Abbiamo la retta di equazione r:y= m x-3 e la parabola di equazione \Pi: y= 3x^2-5x+20

    La parabola e la retta sono tangenti tra loro se e solo se hanno un punto in comune, cioè la loro intersezione consiste di un solo punto, ciò equivale a chiedere che il sistema:

    \begin{cases}y=m x-3 &\mbox{ equazione retta }\\ y= 3x^2-5x+20 &\mbox{ equazione parabola}\end{cases}

    ammetta un'unica soluzione.

    Procediamo per sostituzione, dalla prima equazione del sistema sappiamo che y è uguale a m x-3, sostituiamo questo valore nella seconda equazione ed otteniamo:

    mx-3= 3x^2-5x+20

    Portiamo tutto al primo membro:

    -3x^2+5x+mx-3-20=0

    effettuiamo delle messe in evidenza parziali:

    -3x^2+(5+m)x-23=0

    Affinché il sistema abbia un' unica soluzione dobbiamo pretendere che l'equazione

    -3x^2+(5+m)x-23=0

    abbia una sola soluzione.

    Ma questo avviene quando il discrimante associato è zero (condizione di tangenza parabola-retta), cioè:

    \Delta=(5+m)^2-4(-3)(-23)=0

    da cui:

    (5+m)^2-276=0

    m^2+10 m-251=0

    Dobbiamo trovare le soluzioni di questa equazione di secondo grado

    \Delta_m= 100+1004= 1104

    Le due soluzioni sono:

    m_1= \frac{-10+\sqrt{1104}}{2}= \frac{-10+4\sqrt{69}}{2}= \frac{2(-5+2\sqrt{69})}{2}

    Semplificando il due hai:

    m_1=-5+2\sqrt{69}

    m_2 invece è:

    m_2= -5-2\sqrt{69}

    Le due rette sono:

    r_1: y=(-5+2\sqrt{69})x-3

    r_2: y=(-5-2\sqrt{69})x-3

    e l'esercizio è concluso. ;)

    Risposta di Ifrit
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