Soluzioni
  • Consideriamo la funzione

    f(x)=e^{\frac{x}{x-2}}

    e verifichiamo che sia una funzione iniettiva: in caso contrario possiamo subito concludere che f(x) non è una funzione invertibile. Prendiamo due valori generici x_1, \ x_2 nel dominio della funzione e imponiamo l'uguaglianza

    f(x_1)=f(x_2)

    Se da questa segue che x_1=x_2, allora la funzione è iniettiva. Nel caso in esame, il dominio della funzione si ricava imponendo che il denominatore della frazione all'esponente sia non nullo:

    x-2\ne 0 \ \to \ x\ne 2

    Il dominio è pertanto Dom(f)=\mathbb{R}-\{2\}. Fissiamo due valori generici x_1,\ x_2\in Dom(f) e imponiamo l'uguaglianza f(x_1)=f(x_2)

    e^{\frac{x_1}{x_1-2}}=e^{\frac{x_2}{x_2-2}}

    Uguagliamo gli esponenti

    \frac{x_1}{x_1-2}=\frac{x_2}{x_2-2}

    e moltiplichiamo i due membri per il prodotto dei denominatori ricavando

    x_1(x_2-2)=x_2(x_1-2)

    Una volta eseguiti i prodotto

    x_1x_2-2x_1=x_1x_2-2x_2

    e sommati tra loro i termini simili otteniamo

    -2x_1=-2x_2 \ \to \ x_1=x_2

    I passaggi algebrici dimostrano che la funzione è iniettiva.

    Calcoliamo la funzione inversa di f(x), partendo dalla relazione

    y=e^{\frac{x}{x-2}}

    Il secondo membro è certamente positivo perché l'esponenziale è una funzione positiva e per concordanza anche il primo deve esserlo, dunque y>0.

    Sotto tali ipotesi, possiamo applicare il logaritmo naturale a entrambi i membri

    \ln(y)=\frac{x}{x-2}

    e moltiplicare sia a sinistra che a destra per (x-2)

    (x-2)\ln(y)=x

    Svolgiamo i calcoli e isoliamo i termini con l'incognita x al primo membro

    x\ln(y)-2\ln(y)=x \ \to \ x\ln(y)-x=2\ln(y)

    Raccogliamo totalmente x

    x(\ln(y)-1)=2\ln(y)

    e dividiamo i due membri il fattore \ln(y)-2, assicurandoci che non sia nullo.

    x=\frac{2\ln(y)}{\ln(y)-1} \ \ \ \mbox{per} \ \ln(y)\ne 1\ \mbox{ossia} \ y\ne e

    Non ci resta che scambiare il ruolo delle variabili: al posto di x scriviamo y e viceversa

    y=\frac{2\ln(x)}{\ln(x)-1} \ \ \ \mbox{per }\ x\ne e \ \mbox{e} \ x>0

    è la funzione inversa di f(x).

    Risposta di Omega
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