La funzione è invertibile? Come si capisce col metodo analitico?

Question

Devo svolgere un esercizio sulle funzioni invertibili in cui mi viene chiesto di utilizzare il metodo analitico per stabilire se una funzione esponenziale è effettivamente una funzione invertibile oppure no. Data la seguente applicazione f(x) = e^((x)/(x−2)) Dimostrare analiticamente che essa è una funzione invertibile.

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

Consideriamo la funzione f(x) = e^((x)/(x−2)) e verifichiamo che sia una funzione iniettiva: in caso contrario possiamo subito concludere che f(x) non è una funzione invertibile. Prendiamo due valori generici x_1, x_2 nel dominio della funzione e imponiamo l'uguaglianza f(x_1) = f(x_2) Se da questa segue che x_1 = x_2, allora la funzione è iniettiva. Nel caso in esame, il dominio della funzione si ricava imponendo che il denominatore della frazione all'esponente sia non nullo: x−2 ne 0 → x ne 2 Il dominio è pertanto Dom(f) = R−2. Fissiamo due valori generici x_1, x_2∈ Dom(f) e imponiamo l'uguaglianza f(x_1) = f(x_2) e^((x_1)/(x_1−2)) = e^((x_2)/(x_2−2)) Uguagliamo gli esponenti (x_1)/(x_1−2) = (x_2)/(x_2−2) e moltiplichiamo i due membri per il prodotto dei denominatori ricavando x_1(x_2−2) = x_2(x_1−2) Una volta eseguiti i prodotto x_1x_2−2x_1 = x_1x_2−2x_2 e sommati tra loro i termini simili otteniamo−2x_1 = −2x_2 → x_1 = x_2 I passaggi algebrici dimostrano che la funzione è iniettiva. Calcoliamo la funzione inversa di f(x), partendo dalla relazione y = e^((x)/(x−2)) Il secondo membro è certamente positivo perché l'esponenziale è una funzione positiva e per concordanza anche il primo deve esserlo, dunque y > 0. Sotto tali ipotesi, possiamo applicare il logaritmo naturale a entrambi i membri ln(y) = (x)/(x−2) e moltiplicare sia a sinistra che a destra per (x−2) (x−2)ln(y) = x Svolgiamo i calcoli e isoliamo i termini con l'incognita x al primo membro xln(y)−2ln(y) = x → xln(y)−x = 2ln(y) Raccogliamo totalmente x x(ln(y)−1) = 2ln(y) e dividiamo i due membri il fattore ln(y)−2, assicurandoci che non sia nullo. x = (2ln(y))/(ln(y)−1) per ln(y) ne 1 ossia y ne e Non ci resta che scambiare il ruolo delle variabili: al posto di x scriviamo y e viceversa y = (2ln(x))/(ln(x)−1) per x ne e e x > 0 è la funzione inversa di f(x).