Soluzioni
  • Ciao rosa1992, a nome di tutto lo staff GRAZIE per i complimenti comunque ;) apprezziamo sempre!!

    Cominciamo subito col dire che il principio di induzione è metodo dimostrativo, non complicato per carita, ma si usa di solito per dimostrare ad esempio uguaglianza o disuguaglianze che dipendono da un parametro naturale.

    Nel nostro caso invece hai una sommatoria:

    \sum_{n= 19}^{49}\left(\frac{2}{3}\right)^n

    non hai né uguaglianze né disuguaglianze da dimostrare, devi semplicemente calcolare la somma. In che modo?

    Partiamo da un po di teoria:

    \sum_{n=0}^k x^n

    è una sommatoria particolare, detta serie geometrica, di cui si conosce la somma esatta al variare di k

    \sum_{n=0}^k x^n =\frac{1-x^{k+1}}{1-x}

    per approfondire ti invito a leggere questa discussione: successione delle somme parziali di una serie geometrica.

    Porgi attenzione agli estremi della sommatoria, nel caso generale la somma parte da 0, nel nostro caso invece parte da 19. Inoltre la nostra x, detta ragione, è x= \frac{2}{3}.

    Per determinare la somma della tua sommatoria utilizzeremo una proprietà, derivante dalla proprietà associativa dell'operazione somma:

    \sum_{n=0}^{49} \left(\frac{2}{3}\right)^n = \sum_{n=0}^{18} \left(\frac{2}{3}\right)^n+ \sum_{n=19}^{49 }\left(\frac{2}{3}\right)^n

    Da cui otteniamo che:

    \sum_{n=19}^{49}\left(\frac{2}{3}\right)^n= \sum_{n=0}^{49}\left(\frac{2}{3}\right)^n-\sum_{n=0}^{18}\left(\frac{2}{3}\right)^n

    Ora per il calcolo della somma:

    \sum_{n=0}^{49}\left(\frac{2}{3}\right)^n

    possiamo utilizzare la formula generale, in cui:

    x= \frac{2}{3}

    k=49 dunque:

    \sum_{n=0}^{49}\left(\frac{2}{3}\right)^n= \frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{49+1}}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{50}}{1-\frac{2}{3}}

    D'altro canto:

    \sum_{n=0}^{18}\left(\frac{2}{3}\right)^n= \frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{18+1}}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{19}}{1-\frac{2}{3}}

    Pertanto:

    \sum_{n=19}^{49}\left(\frac{2}{3}\right)^n= \sum_{n=0}^{49}\left(\frac{2}{3}\right)^n-\sum_{n=0}^{18}\left(\frac{2}{3}\right)^n= \frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{50}-1+\left(\frac{2}{3}\right)^{19}}{1-\frac{2}{3}}=

    \sum_{n=19}^{49}\left(\frac{2}{3}\right)^n= \frac{-\left(\frac{2}{3}\right)^{50}+\left(\frac{2}{3}\right)^{19}}{1-\frac{2}{3}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{19}\left(\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{50-19}}{\frac{1}{3}}\right)=

    =3\left(\frac{2}{3}\right)^{19}\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{31}\right)

    Che è il risultato della nostra somma. Potremmo scriverla in modo diverso, utilizzando le varie proprieta numeriche ma non cambierebbe il suo valore :)

    Risposta di Ifrit
  • Innanzitutto grazie a te, la sto capendo volevo dirti la Σ elevata a 18 la devo mettere sempre nei miei calcoli? Deriva dalla regola principale? O al posto di 18 ci può essere un altro numero?

    Risposta di rosa1992
  • Ah, scusami, mi sono dimenticato di dirlo XD, capita spesso.

    Il 18 è un numero necessario, non l'ho scelto arbitrariamente. Poiché la nostra serie originale partiva da 19, dalla sommatoria \sum_{n=0}^{49} dobbiamo escludere i primi 19 termini, dal termine 0, al termine 18 (se conti i numeri da zero a 18 otterrai 19 elementi).

    E' un po' più chiaro? ;)

    Risposta di Ifrit
  • Tutto chiaro, grazie mille!

    Risposta di rosa1992
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