Soluzioni
  • Ciao Fay :)

    Disegniamoci un trapezio di base maggiore \overline{AB} e base minore \overline{CD} e siano \overline{CH} \mbox{ e } \overline{DK} le due altezze (congruenti) relative alla base maggiore.

     

    Trapezio scaleno

     

     

    Grazie ai dati forniti dal problema conosciamo:

    - l'area del trapezio

    A=5\sqrt{3} \mbox{ cm}^2

    - l'ampiezza dei due angoli interni adiacenti alla base maggiore, ossia

    \widehat{DAB}=30^{\circ} \mbox{ e } \widehat{CBA}=60^{\circ}

    - la lunghezza della base minore

    \overline{CD}=3 \mbox{ cm}

    Poniamo \overline{AB}=x \mbox{ e } \overline{CH}=\overline{DK}=y

    Ricordando la formula per l'area del trapezio, l'area è data da

    A=\frac{(\overline{AB}+\overline{CD})\cdot \overline{CH}}{2}

    Sostituendo i valori noti, ricadiamo in un'equazione nelle incognite x e y, ossia

    5\sqrt{3}=\frac{(x+3)y}{2}

    da cui

    xy+3y=10\sqrt{3} \to \mbox{Prima equazione}

    Osserviamo inoltre che

    \overline{AB}=\overline{AK}+\overline{KH}+\overline{HB}

    Ora, i triangoli DAK \mbox{ e } CHB sono due triangoli rettangoli con gli angoli acuti di 30 e 60. Pertanto

    \overline{AK}=\sqrt{3}\overline{DK}=\sqrt{3}y

    \overline{HB}=\frac{\sqrt{3}}{3}\overline{CH}=\frac{\sqrt{3}}{3}y

    Inoltre \overline{HK}=\overline{CD}=3 \mbox{ cm}

    Sostiuendo in

    \overline{AB}=\overline{AK}+\overline{KH}+\overline{HB}

    vien fuori la seconda equazione risolutiva che è data da

    x=\sqrt{3}y+3+\frac{\sqrt{3}}{3}y=\frac{4\sqrt{3}y+9}{3}

    Possiamo allora trovare il valore di x ed y risolvendo il sistema di equazioni

    \begin{cases}xy+3y=10\sqrt{3} \\ x=\frac{4\sqrt{3}y+9}{3}\end{cases}

    Sostituiamo la seconda relazione nella prima

    \begin{cases}\left(\frac{4\sqrt{3}y+9}{3}\right)y+3y=10\sqrt{3} \\ x=\frac{4\sqrt{3}y+9}{3}\end{cases}

    Concentriamoci ora sulla prima equazione del sistema. Svolgendo i conti ricadiamo nella seguente equazione di secondo grado nell'incognita y

    \frac{4\sqrt{3}}{3}y^2+6y-10\sqrt{3}=0

    ossia

    4\sqrt{3}y^2+18y-30\sqrt{3}=0

    che ha come soluzioni

    y=\sqrt{3} \ \vee \ y=-\frac{5\sqrt{3}}{2}

    Poiché y indica la misura del segmento \overline{CH} non può essere negativa, ossia l'unica soluzione accettabile è y=\sqrt{3}. Sostituendo poi tale valore di y nella seconda equazione del sistema abbiamo

    x=\frac{4\sqrt{3}y+9}{3}=\frac{4\sqrt{3}\times \sqrt{3}+9}{3}=\frac{21}{3}=7

    In definitiva si ha quindi che

    \overline{AB}=x=7 \mbox{ cm}

    \overline{CH}=y=\sqrt{3} \mbox{ cm}

    e, di conseguenza

    \overline{AK}=\sqrt{3}y=\sqrt{3}\times \sqrt{3}=3\mbox{ cm}

    \overline{HB}=\frac{\sqrt{3}}{3}y=\frac{\sqrt{3}}{3}\times \sqrt{3}=1\mbox{ cm}

    Per calcolare il perimetro del trapezio ci manca la misura dei due lati obliqui \overline{AD}\mbox{ e }\overline{BC} che possiamo trovare ricorrendo al teorema di Pitagora o, molto più semplicemente, utilizzando ancora una volta le formule sul triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 30° e 60°:

    \overline{AD}=2\overline{DK}=2\times 7 = 14 \mbox{ cm}

    \overline{BC}=2\overline{HB}=2\times 1 = 2 \mbox{ cm}

    Possiamo allora concludere che

    2p_{ABCD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{AD}=7+2+3+14=26\mbox{ cm}

    Abbiamo finito. :)

    Risposta di Galois
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