Problema sul trapezio con i sistemi di equazioni

Disegniamoci un trapezio di base maggiore e base minore e siano le due altezze (congruenti) relative alla base maggiore.

Grazie ai dati forniti dal problema, conosciamo:

- l'area del trapezio

- l'ampiezza dei due angoli interni adiacenti alla base maggiore, ossia

- la lunghezza della base minore

Poniamo

Ricordando la formula per l'area del trapezio, l'area è data da

Sostituendo i valori noti, ricadiamo in un'equazione nelle incognite x e y, ossia

da cui

Osserviamo inoltre che

Ora, i triangoli sono due triangoli rettangoli con gli angoli acuti di 30 e 60. Pertanto

Inoltre

Sostiuendo in

vien fuori la seconda equazione risolutiva che è data da

Possiamo allora trovare il valore di x ed y risolvendo il sistema di equazioni

Sostituiamo la seconda relazione nella prima

Concentriamoci ora sulla prima equazione del sistema. Svolgendo i conti ricadiamo nella seguente equazione di secondo grado nell'incognita y

ossia

che ha come soluzioni

Poiché y indica la misura del segmento non può essere negativa, ossia l'unica soluzione accettabile è . Sostituendo poi tale valore di y nella seconda equazione del sistema abbiamo

In definitiva si ha quindi che

e, di conseguenza

Per calcolare il perimetro del trapezio ci manca la misura dei due lati obliqui che possiamo trovare ricorrendo al teorema di Pitagora o, molto più semplicemente, utilizzando ancora una volta le formule sul triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 30° e 60°:

Possiamo allora concludere che

Abbiamo finito. :)