Disequazione con l'espressione di una funzione

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Vorrei una conferma e sapere il procedimento per risolvere una disequazione costruita con l'espressione di una funzione. Prima devo dimostrare che è crescente, e lo dovrei aver fatto. La seconda parte mi crea problemi...

 

Data la funzione f(x)=2x+3

 

a) dimostrare che è una funzione crescente

b) risolvere la disequazione f(2x)+f(x^2) > f(|x|)-1

 

Per vedere se è crescente ho usato la definizione e ho considerato

 

2x(1) + 3 < 2x(2) + 3

 

con x(1), x(2) due punti generici, e quindi è crescente (la prof non ci fa fare il grafico -.-').

Domanda di Francesca

 
Soluzioni

  • Ciao Francesca, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Va benissimo il modo in cui hai verificato che la funzione è crescente: hai proprio usato la definizione (vedi la nozione di monotonia per le funzioni), a patto però di specificare che nella tua ipotesi x_1 < x_2.

    Per quanto riguarda la disequazione, si tratta di fare attenzione alle funzioni composte che vi compaiono. La disequazione

    f(2x)+f(x^2) > f(|x|)-1

    diventa, in forma esplicita

    2(2x)+3+2(x^2)+3 > 2|x|+3-1

    ossia

    2x^2+4x+6 > 2|x|+2

    e quindi

    2x^2+4x+4 > 2|x|

    x^2+2x+2 > |x|

    Ci sono due modi di risolvere questa disequazione: algebrico e grafico. Il primo è noioso, il secondo è più veloce e sicuramente più divertente del primo. Quale vogliamo vedere?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • anzi facciamo quello algebrico che la mia prof odia i grafici -.-'

    Risposta di Francesca

  • Scriviamo la disequazione come

    |x| < x^2+2x+2

    che quindi equivale a due sistemi di disequazioni, di cui dobbiamo unire le soluzioni.

    Il primo sistema è

    x ≥ 0

    x < x^2+2x+2

    ed ha soluzione

    x > 0

    Il secondo sistema è

    x ≥ 0

    x > -x^2-2x-2

    ed ha soluzione

    x < -2

    vel

    x > -1

    Unendo le due soluzioni, si trova che la disequazione ha soluzioni

    x∈ (-∞,-2) U (-1,+∞)

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • graziee :D

    Risposta di Francesca
 
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