Soluzioni
  • Il nostro compito consiste nel dimostrare che l'estremo inferiore dell'insieme:

    E=\left\{\frac{1}{n}\ \mbox{t.c.} \ n\in\mathbb{N}-\{0\}\right\}

    è uguale a zero, ossia:

    \inf(E)=\inf\left(\left\{\frac{1}{n}\ \mbox{t.c.} \ n\in\mathbb{N}-\{0\}\right\}\right)=0

    Per raggiungere il nostro obiettivo osserviamo che E è l'insieme costituito dai reciproci dei numeri naturali non nulli. Poiché i numeri naturali non nulli sono necessariamente positivi, lo saranno anche i loro reciproci! Da ciò segue che ogni numero negativo o nullo è un minorante per E. In altri termini, se z\le 0 allora z è un minorante per E.

    A conti fatti, 0 si candida come estremo inferiore di E, ma per confermarne lo status è necessario verificare che: per ogni numero reale z maggiore dell'estremo inferiore, è possibile determinare un elemento y di E tale che y<z. Questa condizione serve a garantire che z non è l'estremo inferiore.

    In maniera più esplicita, se prendiamo z>0, dobbiamo dimostrare che esiste un elemento y=\frac{1}{n} di E tale che: 

    y<z \ \ \ \to \ \ \ \frac{1}{n}<z

    Ciò avviene nel momento in cui n>\frac{1}{z}.

    Abbiamo così provato che 0 è l'estremo inferiore dell'insieme E, infatti è il più grande di tutti i minoranti di E.

    Risposta di Ifrit
 
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