Applicazione teorema degli zeri

Non so come mi devo muovere con questa tipologia di esercizi sul teorema degli zeri.

Dopo aver enunciato il teorema degli zeri lo si applichi per dimostrare che

con che appartiene all'intervallo ammette almeno un punto in cui si annulla. Tale punto è unico? Determinare la sua approssimazione con un errore inferiore a

Domanda di serenavici

Soluzioni

Per prima cosa enunciamo il teorema degli zeri: data una funzione
continua sull'intervallo chiuso e limitato e tale da assumere agli estremi valori di segno opposto, cioè
allora esiste un punto (estremi esclusi) tale che .
Controlliamo ora se la funzione
soddisfa le ipotesi del teorema nell'intervallo di riferimento . Innanzitutto è certamente una funzione continua in perché somma di funzioni continue. Inoltre assume valori discordi agli estremi dell'intervallo, infatti
e dunque . Poiché le ipotesi del teorema degli zeri sono verificate, esiste un punto tale che
Per verificare l'unicità di abbiamo bisogno della monotonia della funzione . Rammentiamo, infatti, che la stretta monotonia di garantisce l'unicità dello zero di .
Calcoliamo prima di tutto la derivata prima della funzione
Sfruttando la regola di derivazione della somma
e la tabella delle derivate fondamentali, scopriamo che la derivata prima è
che è chiaramente una funzione positiva nell'intervallo perché somma di quantità positive per ogni .
Le informazioni in nostro possesso assicurano la stretta monotonia di nell'intervallo , pertanto lo zero della funzione è unico nell'intervallo analizzato.
Determiniamo un'approssimazione dello zero esatto sfruttando il metodo di bisezione.
Poniamo
dove è il punto medio dell'intervallo . Valutiamo la funzione nei tre punti
quindi ci riduciamo a ragionare sull'intervallo perché con tali estremi possiamo riapplicare il teorema degli zeri: stiamo stringendo il cerchio attorno allo zero della funzione.
Poniamo
e valutiamo la funzione in tali punti ottenendo
Applichiamo ancora una volta il teorema degli zeri all'intervallo perché garantisce valori di segno opposto sulle valutazioni della funzione. Poniamo dunque
dove è il punto medio dell'intervallo .
Valutiamo la funzione nei tre punti
Osserviamo che l'esercizio fornisce quella che in gergo prende il nome di tolleranza: . Se l'ampiezza dell'i-esimo intervallo è minore della tolleranza scelta allora la soluzione approssimata si discosta dalla soluzione esatta di una quantità minore della tolleranza.
Al passo attuale, l'ampiezza dell'intervallo è maggiore della tolleranza infatti
e dunque siamo costretti ad applicare nuovamente il metodo. Poniamo
Osserviamo che l'ampiezza dell'intervallo è
di conseguenza possiamo prendere come approssimazione il punto medio dell'intervallo in esame
Fatto!
Risposta di Galois