Soluzioni
  • Per prima cosa enunciamo il teorema degli zeri: data una funzione

    f\ : \ [a,b]\to\mathbb{R}

    continua sull'intervallo chiuso e limitato [a,b] e tale da assumere agli estremi valori di segno opposto, cioè

    f(a)\cdot f(b)<0

    allora esiste un punto x_0\in (a,b) (estremi esclusi) tale che f(x_0)=0.

    Controlliamo ora se la funzione

    f(x)=\sqrt{x}+x^2-3

    soddisfa le ipotesi del teorema nell'intervallo di riferimento [1,2]. Innanzitutto f(x) è certamente una funzione continua in [1,2] perché somma di funzioni continue. Inoltre assume valori discordi agli estremi dell'intervallo, infatti

    f(1)=\sqrt{1}+1-3=-1<0 \ \ \ ; \ \ \ f(2)=\sqrt{2}+4-3=\sqrt{2}+1>0

    e dunque f(1)\cdot f(2)<0. Poiché le ipotesi del teorema degli zeri sono verificate, esiste un punto x_0\in (1,2) tale che

    f(x_0)=0\iff \sqrt{x_0}+x_0^2-3=0

    Per verificare che l'unicità di x_0, abbiamo bisogno della monotonia della funzione f(x). Rammentiamo, infatti, che la stretta monotonia di f(x) garantisce l'unicità dello zero di f(x).

    Calcoliamo prima di tutto la derivata prima della funzione

    f'(x)=\frac{d}{dx}[\sqrt{x}+x^2-3]=

    Sfruttando la regola di derivazione della somma

    =\frac{d}{dx}[\sqrt{x}]+\frac{d}{dx}[x^2]-\frac{d}{dx}[3]=

    e la tabella delle derivate fondamentali, scopriamo che la derivata prima è

    =\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x

    che è chiaramente una funzione positiva nell'intervallo [1,2] perché somma di quantità positive per ogni x\in[1,2].

    Le informazioni in nostro possesso assicurano la stretta monotonia di f(x) nell'intervallo [1,2] pertanto lo zero della funzione è unico nell'intervallo analizzato.

    Determiniamo un'approssimazione dello zero esatto x_0 sfruttando il metodo di bisezione.

    Poniamo

    a_0=1 \ \ \ ; \ \ \ b_0= 2 \ \ \ ; \ \ \ c_0=\frac{a_0+b_0}{2}=\frac{3}{2}

    dove c_0 è il punto medio dell'intervallo [1,2]. Valutiamo la funzione nei tre punti

    \\ f(a_0)=f(1)=\sqrt{1}+1^2-3=-1 \\ \\ f(b_0)=f(2)=\sqrt{2}+4-3=\sqrt{2}-1 \\ \\ f(c_0)=f\left(\frac{3}{2}\right)=\sqrt{\frac{3}{2}}+\frac{9}{4}-3\simeq 0.47

    quindi ci riduciamo a ragionare sull'intervallo \left[1,\frac{3}{2}\right] perché con tali estremi possiamo riapplicare il teorema degli zeri: stiamo stringendo il cerchio attorno allo zero della funzione.

    Poniamo

    a_1=1 \ \ \ ; \ \ \ b_1 =\frac{3}{2} \ \ \ ; \ \ \ c_1=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{5}{4}

    e valutiamo la funzione in tali punti ottenendo

    \\ f(a_1)=f(1)=-1 \\ \\ \\ f(b_1)=f\left(\frac{3}{2}\right)=\sqrt{\frac{3}{2}}+\frac{9}{4}-3\simeq 0.47 \\ \\ \\ f(c_1)=f\left(\frac{5}{4}\right)=\sqrt{\frac{5}{4}}+\frac{25}{16}-3\simeq-0.32

    Applichiamo ancora una volta il teorema degli zeri all'intervallo \left[\frac{5}{4},\frac{3}{2}\right] perché garantisce valori di segno opposto sulle valutazioni della funzione. Poniamo dunque

    a_2=\frac{5}{4} \ \ \ ; \ \ \ b_2=\frac{3}{2} \ \ \ ; \ \ \ c_2=\frac{a_2+b_2}{2}=\frac{11}{8}

    dove c_2 è il punto medio dell'intervallo \left[\frac{5}{4},\frac{3}{2}\right].

    Valutiamo la funzione nei tre punti

    \\ f(a_2)=f\left(\frac{5}{4}\right)=\sqrt{\frac{5}{4}}+\frac{25}{16}-3\simeq-0.32 \\ \\ \\ f(b_2)=f\left(\frac{3}{2}\right)=\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{3}{4}\simeq 0.47 \\ \\ \\ f\left(c_1\right)=f\left(\frac{11}{8}\right)=\sqrt{\frac{11}{8}}-\frac{71}{64}\simeq 0.063

    Osserviamo che l'esercizio fornisce quella che in gergo prende il nome di tolleranza: \varepsilon=\frac{1}{7}. Se l'ampiezza dell'i-esimo intervallo è minore della tolleranza scelta allora la soluzione approssimata si discosta dalla soluzione esatta di una quantità minore della tolleranza.

    Al passo attuale, l'ampiezza dell'intervallo è maggiore della tolleranza infatti

    b_2-a_2=\frac{3}{2}-\frac{5}{4}=\frac{1}{4}>\frac{1}{7}

    e dunque siamo costretti ad applicare nuovamente il metodo. Poniamo

    a_3=\frac{5}{4} \ \ \ ; \ \ \ b_3=\frac{11}{8} \ \ \ ; \ \ \ c_3=\frac{a_3+b_3}{2}=\frac{21}{16}

    Osserviamo che l'ampiezza dell'intervallo è

    b_3-a_3=\frac{11}{8}-\frac{5}{4}=\frac{1}{8}<\frac{1}{7}

    di conseguenza possiamo prendere come approssimazione il punto medio dell'intervallo in esame

    x_{appr}=\frac{21}{16}

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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