Soluzioni
  • Buongiorno Ely!

    Allora il fatto che il grafico della funzione y=a\ \log_2(x+b) passi per (0,0) e (3,4) ci dice che sostituendo le coordinate di quei punti nella funzione, cioè scrivendo al posto di y l'ordinata del punto e al posto di x l'ascissa, l'uguaglianza deve essere verificata. In sostanza:

    condizione di passaggio per (0,0) -> sostituiamo nella funzione le coordinate al posto di x e y, cioè (x,y)=(0,0):

    0=a \log_2(0+b)

    0=a \log_2(b)

    abbiamo ottenuto un'equazione nelle incognite a e b. L'unico modo per risolverla è trovare una seconda equazione nelle stesse incognite per poi metterle a sistema.

    Ricaviamo la seconda equazione imponendo il passaggio per (3,4):

    condizione di passaggio per (3,4) -> sostituiamo nella funzione le coordinate al posto di x e y, cioè (x,y)=(3,4):

    4=a \log_2(3+b)

    Abbiamo le nostre equazioni, mettiamole a sistema e risolviamole.

    Prima di tutto le condizioni di esistenza su a e b: nella prima equazione: 

    0=a \log_2(b)

    perché quest'equazione abbia senso si deve avere a≠0 (vogliamo dividere per a) e b > 0 (è argomento del logaritmo)

    Nella seconda equazione:

    4=a\ \log_2(3+b)

    in questo caso chiediamo a≠0 (vogliamo dividere per a) e b > -3 (è argomento del logaritmo).

    Come sai le condizioni di esistenza devono valere contemporanemente, quindi dovremo avere a≠0 (vogliamo dividere per a) e b > 0 (è argomento del logaritmo).

    Ora possiamo risolvere il sistema:

    \begin{cases}0=a \log_2(b)\\ 4=a \log_2(3+b)\end{cases}

    Risolviamo la prima equazione:

    0=a \log_2(b)

    dividendo per a, (che abbiamo posto diverso da 0), otteniamo \log_2(b)=0 ossia

    log_2(b)=log_2(1) 

    quindi b=1.

     

    Siamo stato fortunati: abbiamo già trovato esplicitamente il valore di b, quindi lo possiamo sostituire nella seconda equazione:

    4=a \log_2(3+b)

    sappiamo che b=1, quindi

    4=a \log_2(3+1)

    4=a \log_2(4)

    4=a\cdot 2

    quindi a=2

     

    Dunque la funzione y=a \log_2(x+b) passa per (0,0) e (3,4) se a=2 e b=1, (come vedi i valori di a e b rispettano le condizioni di esistenza che avevamo stabilito prima). Quindi la funzione cercata è

    y=2 \log_2(x+1)

     

    Ecco fatto! Scrivici pure se dovessi avere altri problemi.

    A presto.

    Alpha.

    Risposta di Alpha
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