Parametri di una funzione logaritmica passante per due punti

Buongiorno Ely!

Allora il fatto che il grafico della funzione  passi per (0,0) e (3,4) ci dice che sostituendo le coordinate di quei punti nella funzione, cioè scrivendo al posto di y l'ordinata del punto e al posto di x l'ascissa, l'uguaglianza deve essere verificata. In sostanza:

condizione di passaggio per (0,0) -> sostituiamo nella funzione le coordinate al posto di x e y, cioè (x,y)=(0,0):

abbiamo ottenuto un'equazione nelle incognite a e b. L'unico modo per risolverla è trovare una seconda equazione nelle stesse incognite per poi metterle a sistema.

Ricaviamo la seconda equazione imponendo il passaggio per (3,4):

condizione di passaggio per (3,4) -> sostituiamo nella funzione le coordinate al posto di x e y, cioè (x,y)=(3,4):

Abbiamo le nostre equazioni, mettiamole a sistema e risolviamole.

Prima di tutto le condizioni di esistenza su a e b: nella prima equazione: 

perché quest'equazione abbia senso si deve avere a≠0 (vogliamo dividere per a) e b > 0 (è argomento del logaritmo)

Nella seconda equazione:

in questo caso chiediamo a≠0 (vogliamo dividere per a) e b > -3 (è argomento del logaritmo).

Come sai le condizioni di esistenza devono valere contemporanemente, quindi dovremo avere a≠0 (vogliamo dividere per a) e b > 0 (è argomento del logaritmo).

Ora possiamo risolvere il sistema:

Risolviamo la prima equazione:

dividendo per a, (che abbiamo posto diverso da 0), otteniamo ossia

quindi .

Siamo stato fortunati: abbiamo già trovato esplicitamente il valore di b, quindi lo possiamo sostituire nella seconda equazione:

sappiamo che b=1, quindi

quindi

Dunque la funzione passa per (0,0) e (3,4) se a=2 e b=1, (come vedi i valori di a e b rispettano le condizioni di esistenza che avevamo stabilito prima). Quindi la funzione cercata è

Ecco fatto! Scrivici pure se dovessi avere altri problemi.

A presto.

Alpha.