Calcolare le somme parziali n-esime di una serie

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Università - Analisi

Ciao a tutti, mi spiegate come si calcolano le somme parziali n-esime della serie di questo esercizio? La richiesta è: trovare le somme parziali n-esime e se possibile determinare la somma della serie:

 

Σ_(n = 4)^∞((1)/(n+1)-(1)/(n-3))

 

Grazie 1000!

Domanda di superconc

 
Soluzioni

  • Eccomi, ciao superconc, il tempo di scrivere il procedimento :)

    Risposta di Ifrit

  • Σ_(n = 4)^∞((1)/(n+1)-(1)/(n-3))

    Andiamo a determinare le somme parziali:

    S_4 = (1)/(5)-1

    S_5 = (1)/(6)-(1)/(2)+(1)/(5)-1

    S_6 = (1)/(7)-(1)/(3)+(1)/(6)-(1)/(2)+(1)/(5)-1

    S_7 = (1)/(8)-(1)/(4)+(1)/(7)-(1)/(3)+(1)/(6)-(1)/(2)+(1)/(5)-1

    S_8 = (1)/(9)-(1)/(5)+(1)/(8)-(1)/(4)+(1)/(7)-(1)/(3)+(1)/(6)-(1)/(2)+(1)/(5)-1

    Bene, osserva che abbiamo due termini opposti, (1)/(5) e -(1)/(5) che possono essere cancellati.

    Calcoliamo S_9 per capire la legge che regola queste cancellazioni

    S_9 = (1)/(10)-(1)/(6)+(1)/(9)+(1)/(8)-(1)/(4)+(1)/(7)-(1)/(3)+(1)/(6)-(1)/(2)-1

    Possiamo cancellare (1)/(6)  e -(1)/(6)

    Bene o male abbiamo capito la solfa ma per essere sicuri, calcoliamo S_10

    S_10 = (1)/(11)-(1)/(7)+(1)/(10)+(1)/(9)+(1)/(8)-(1)/(4)+(1)/(7)-(1)/(3)-(1)/(2)-1

    Anche stavolta possiamo cancellare due termini: -(1)/(7) e (1)/(7).

     

    Possiamo quindi capire che i termini che non verranno cancellati sono:

    -(1)/(4)-(1)/(3)-(1)/(2)-1,

    Gli altri termini vengono cancellati ma non tutti.

    La somma parziale sarà quindi:

    S_n = (1)/(n+1)+(1)/(n)+(1)/(n-1)+(1)/(n-2)+(1)/(n-3)-(1)/(4)-(1)/(3)-(1)/(2)-1

    Quando n tende ad infinito, il limite delle somme parziali è:

    lim_(n → ∞) S_n = lim_(n → ∞)(1)/(n+1)+(1)/(n)+(1)/(n-1)+(1)/(n-2)+(1)/(n-3)-(1)/(4)-(1)/(3)-(1)/(2)-1 =

    -(1)/(4)-(1)/(3)-(1)/(2)-1 = -(25)/(12) 

     

    Non credo di essere stato chiaro, mi spiace. Intanto vedi se capisci cosa ho cercato di dire, intanto io trovo il modo di migliorare l'esposizione :)

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica