Soluzioni
  • Eccomi, ciao superconc, il tempo di scrivere il procedimento :)

    Risposta di Ifrit
  • \sum_{n=4}^\infty\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-3}\right)

    Andiamo a determinare le somme parziali:

    S_4= \frac{1}{5}-1

    S_5= \frac{1}{6}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-1

    S_6= \frac{1}{7}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-1

    S_7= \frac{1}{8}-\frac{1}{4}+\frac{1}{7}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-1

    S_8=\frac{1}{9}-\frac{1}{5}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}+\frac{1}{7}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-1

    Bene, osserva che abbiamo due termini opposti, \frac{1}{5}\mbox{ e }-\frac{1}{5} che possono essere cancellati.

    Calcoliamo S_9 per capire la legge che regola queste cancellazioni

    S_9= \frac{1}{10}-\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}+\frac{1}{7}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2}-1

    Possiamo cancellare \frac{1}{6}  e -\frac{1}{6}

    Bene o male abbiamo capito la solfa ma per essere sicuri, calcoliamo S_10

    S_10= \frac{1}{11}-\frac{1}{7}+\frac{1}{10}+\frac{1}{9}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}+\frac{1}{7}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-1

    Anche stavolta possiamo cancellare due termini: -\frac{1}{7} e \frac{1}{7}.

     

    Possiamo quindi capire che i termini che non verranno cancellati sono:

    -\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-1,

    Gli altri termini vengono cancellati ma non tutti.

    La somma parziale sarà quindi:

    S_n= \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}+\frac{1}{n-3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-1

    Quando n tende ad infinito, il limite delle somme parziali è:

    \lim_{n\to \infty} S_n= \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}+\frac{1}{n-3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-1=

    -\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-1= -\frac{25}{12} 

     

    Non credo di essere stato chiaro, mi spiace. Intanto vedi se capisci cosa ho cercato di dire, intanto io trovo il modo di migliorare l'esposizione :)

    Risposta di Ifrit
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