Soluzioni
  • Eccomi, il tempo di scrivere la risposta :)

    Risposta di Ifrit
  • La funzione è quindi:

     

    f(x)= \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}

    Utilizzeremo la formula di derivazione del quoziente:

    f'(x)= \frac{(2x-2)(x-1)^2-(x^2-2x)* 2(x-1)}{((x-1)^2)^2}=\frac{(2x-2)(x-1)^2-(x^2-2x)* 2(x-1)}{(x-1)^4}

    Mettiamo in evidenza (x-1) al numeratore:

    f'(x)= \frac{(x-1)[(2x-2)(x-1)-2(x^2-2x)]}{(x-1)^4}

    Mettiamo in evidenza il 2 nel termina (2x-2) e semplifichiamo (x-1) col denominatore:

    f'(x)= \frac{2(x-1)(x-1)-2(x^2-2x)}{(x-1)^3}

    Effettuiamo il prodotto:

    f'(x)= \frac{2(x^2-2x+1)-2(x^2-2x)}{(x-1)^3}= \frac{2x^2-4x+2-2x^2-4x}{(x-1)^3}=

    = \frac{2}{(x-1)^3}

    Puoi osservare tu stessa che la derivata prima non  può annullarsi quindi non abbiamo punti di massimo o di minimo della funzione.

    Il segno della derivata prima dipende esclusivamente dal denominatore di quest'ultima :

     \frac{2}{(x-1)^3}>0

    se e solo se 

    (x-1)^3>0

    se e solo se 

    x>1

    Abbiamo che la derivata prima è positiva per x>1, di conseguenza la funzione di partenza cresce quando x>1

    Per x<1 la derivata prima è negativa e dunque la funzione decresce.

    Leggi questo: derivata prima per lo studio della monotonia, massimi e minimi.

    Ciao :)

     

    Risposta di Ifrit
 
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