Limite di successione fratta con fattoriale

Salve a tutti ho una successione con il fattoriale e fratta e devo calcolarne il limite per n tendente a più infinito:

[n^(n+1)] / [n! 7^n].

Il vostro sito e' fatto benissimo ma quando si tratta di svolgere gli esercizi  attraverso la teoria non ci riesco...

Domanda di rosa1992
Soluzioni

La successione dovrebbe essere:

a_n = (n^(n+1))/(n!7^n)

Corretto? 

Risposta di Ifrit

Vabbé per questioni di completezza del post rispondo lo stesso, probabilmente rosa1992 ha capito come procedere (OTTIMO!!)

In questo tipo di esercizi interviene il criterio del rapporto per successioni:

Teorema: Sia (a_n)_n una successione a termini positivi.

Sia ell = lim_(n → ∞)(a_(n+1))/(a_n)

• Se ell < 1 allora lim_(n → ∞)a_n = 0

• Se ell = 1 nulla si può dire sul limite della successione

• Se ell > 1 allora lim_(n → ∞)a_n = +∞

Consideriamo quindi:

(a_(n+1))/(a_n) = (((n+1)^(n+2))/((n+1)! 7^(n+1)))/((n^(n+1))/(n! 7^n)) =

(a_(n+1))/(a_n) = ((n+1)^(n+2))/((n+1)! 7^(n+1))(n! 7^n)/(n^(n+1)) =

Semplificando in modo opportuno il precedente rapporto diventa:

(a_(n+1))/(a_n) = (1)/(7)((1+n)/(n))^(n+1)

Passando al limite n abbiamo:

lim_(n → ∞)(a_(n+1))/(a_n) = lim_(n → ∞)(1)/(7)((1+n)/(n))^(n+1) = (e)/(7)

Poichè il limite del rapporo è minore di 1 allora:
lim_(n → ∞)a_n = 0

Risposta di Ifrit

grazie perfetto ciao!

Risposta di rosa1992

Domande della categoria Università - Analisi
Esercizi simili e domande correlate