Soluzioni
  • La successione dovrebbe essere:

    a_n= \frac{n^{n+1}}{n!7^n}

    Corretto? 

    Risposta di Ifrit
  • Vabbé per questioni di completezza del post rispondo lo stesso, probabilmente rosa1992 ha capito come procedere (OTTIMO!!)

     

    In questo tipo di esercizi interviene il criterio del rapporto per successioni:

    Teorema: Sia (a_n)_n una successione a termini positivi.

    Sia \ell=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}

    • Se \ell<1 allora \lim_{n\to \infty}a_n=0

    • Se \ell=1 nulla si può dire sul limite della successione

    • Se \ell>1 allora \lim_{n\to \infty}a_n=+\infty

     

    Consideriamo quindi:

    \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{\frac{(n+1)^{n+2}}{(n+1)! 7^{n+1}}}{\frac{n^{n+1}}{n! 7^n}}=

    \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{(n+1)^{n+2}}{(n+1)! 7^{n+1}}}\frac{n! 7^n}{n^{n+1}}}=

    Semplificando in modo opportuno il precedente rapporto diventa:

    \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{1}{7}\left(\frac{1+n}{n}\right)^{n+1}

    Passando al limite n abbiamo:

    \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n\to \infty}\frac{1}{7}\left(\frac{1+n}{n}\right)^{n+1}= \frac{e}{7}

    Poichè il limite del rapporo è minore di 1 allora:
    \lim_{n\to \infty}a_n=0

     

    Risposta di Ifrit
  • grazie perfetto ciao!

    Risposta di rosa1992
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