Soluzioni
  • Ok, grazie per aver chiuso la domanda precedente :)

    Per calcolare il

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{2^{3n-5}n!}{n^n}}

    conviene usare la formula di Stirling, che ci dice che

    n!\sim\sqrt{2\pi n}\frac{n^n}{e^n}

    quindi il limite diventa

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{2^{3n-5}\sqrt{2\pi n}n^n}{e^n n^n}}

    cioè

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{2^{3n-5}\sqrt{2\pi n}}{e^n}}=\lim_{n\to +\infty}{\left(\frac{8}{e}\right)^n\frac{1}{2^5}\sqrt{2\pi n}}=+\infty

    Per qualsiasi dubbio, chiedi pure!

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ciao omega e scusa per prima,ti volevo dire non c'e' un modo piu' semplice per risolvere il limite io Stirling non l'ho fatto la prof ce li faceva risolvere mettendo al posto della n (n+1) questo procedimento non lo conosco ciao e grazie!

    Risposta di rosa1992
  • Forse la tua professoressa si riferisce al criterio del rapporto per le successioni, che permette di dire se una successione converge o diverge. Si tratta di studiare il

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=l

    e di controllare:

    - se il limite l<1, allora la successione converge a zero;

    - se il limite l>1, allora la successione diverge a infinito;

    - se il limite l=1, non si può dire nulla;

    Ti trovi? Procediamo in questo modo?

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
  • si cosi' scusa ma ieri internet non mi funzionava bene ciao!

    Risposta di rosa1992
  • Ciao Rosa1992, nessun problema: procediamo subito!

    Risposta di Omega
  • Mostriamo che la serie diverge ricorrendo al criterio del rapporto per le successioni. Consideriamo il

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}

    che è

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{2^{3(n+1)-5}(n+1)! n^n}{(n+1)^{n+1}2^{3n-5}n!}}

    e che diventa, con semplicissime semplificazioni algebriche

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{2^{3}(n+1) n^n}{(n+1)^{n+1}}}

    cioè

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{2^{3} n^n}{(n+1)^{n}}}

    Ora preoccupiamoci solamente del

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{n^n}{(n+1)^n}}

    che riscriviamo come

    \lim_{n\to +\infty}{\left[\frac{n}{(n+1)}\right]^n}

    ossia

    \lim_{n\to +\infty}{\left[\frac{n+1-1}{n+1}\right]^n}

    cioè, spezzando il numeratore

    \lim_{n\to +\infty}{\left[1+\frac{1}{(-1)(n+1)}\right]^n}

    Ora effettuaimo un po' di passaggi algebrici che non modificano la funzione solo apparentemente, in modo da poter applicare il limite notevole che ci serve.

    \lim_{n\to +\infty}{\left[1+\frac{1}{(-1)(n+1)}\right]^{[(-1)n](-1)}}

    \lim_{n\to +\infty}{\left[1+\frac{1}{(-1)(n+1)}\right]^{[-n-1](-1)-1}}

    Ed infine

    \lim_{n\to +\infty}{\left\{\left[1+\frac{1}{(-1)(n+1)}\right]^{[-n-1](-1)}\right\}\left\{\left[1+\frac{1}{(-1)(n+1)}\right]^{-1}\right\}}

    \lim_{n\to +\infty}{\left\{\left[1+\frac{1}{(-1)(n+1)}\right]^{[-n-1]}\right\}^{-1}\left\{\left[1+\frac{1}{(-1)(n+1)}\right]^{-1}\right\}}=e^{-1}\cdot 1^{-1}=\frac{1}{e}

    Tornando al limite del rapporto, troviamo che vale

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{2^3}{e}>1

    e dunque per il criterio del rapporto la successione diverge.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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