Calcolare il limite di una successione con fattoriale e n^n

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Salve devo calcolare il limite di una successione con n^n e un termine fattoriale:

 

limite per n-> +infinito di [2^(3n-5) n!] / [n^n]

Mi aiutate? Io propio non li capisco..

Domanda di rosa1992

 
Soluzioni

  • Ok, grazie per aver chiuso la domanda precedente :)

    Per calcolare il

    lim_(n → +∞)(2^(3n-5)n!)/(n^n)

    conviene usare la formula di Stirling, che ci dice che

    n! ~ √(2π n)(n^n)/(e^n)

    quindi il limite diventa

    lim_(n → +∞)(2^(3n-5)√(2π n)n^n)/(e^n n^n)

    cioè

    lim_(n → +∞)(2^(3n-5)√(2π n))/(e^n) = lim_(n → +∞)((8)/(e))^n(1)/(2^5)√(2π n) = +∞

    Per qualsiasi dubbio, chiedi pure!

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ciao omega e scusa per prima,ti volevo dire non c'e' un modo piu' semplice per risolvere il limite io Stirling non l'ho fatto la prof ce li faceva risolvere mettendo al posto della n (n+1) questo procedimento non lo conosco ciao e grazie!

    Risposta di rosa1992

  • Forse la tua professoressa si riferisce al criterio del rapporto per le successioni, che permette di dire se una successione converge o diverge. Si tratta di studiare il

    lim_(n → +∞)(a_(n+1))/(a_n) = l

    e di controllare:

    - se il limite l < 1, allora la successione converge a zero;

    - se il limite l > 1, allora la successione diverge a infinito;

    - se il limite l = 1, non si può dire nulla;

    Ti trovi? Procediamo in questo modo?

    Namasté!

     

    Risposta di Omega

  • si cosi' scusa ma ieri internet non mi funzionava bene ciao!

    Risposta di rosa1992

  • Ciao Rosa1992, nessun problema: procediamo subito!

    Risposta di Omega

  • Mostriamo che la serie diverge ricorrendo al criterio del rapporto per le successioni. Consideriamo il

    lim_(n → +∞)(a_(n+1))/(a_n)

    che è

    lim_(n → +∞)(2^(3(n+1)-5)(n+1)! n^n)/((n+1)^(n+1)2^(3n-5)n!)

    e che diventa, con semplicissime semplificazioni algebriche

    lim_(n → +∞)(2^(3)(n+1) n^n)/((n+1)^(n+1))

    cioè

    lim_(n → +∞)(2^(3) n^n)/((n+1)^(n))

    Ora preoccupiamoci solamente del

    lim_(n → +∞)(n^n)/((n+1)^n)

    che riscriviamo come

    lim_(n → +∞)[(n)/(n+1)]^n

    ossia

    lim_(n → +∞)[(n+1-1)/(n+1)]^n

    cioè, spezzando il numeratore

    lim_(n → +∞)[1+(1)/((-1)(n+1))]^n

    Ora effettuaimo un po' di passaggi algebrici che non modificano la funzione solo apparentemente, in modo da poter applicare il limite notevole che ci serve.

    lim_(n → +∞)[1+(1)/((-1)(n+1))]^([(-1)n](-1))

    lim_(n → +∞)[1+(1)/((-1)(n+1))]^([-n-1](-1)-1)

    Ed infine

    lim_(n → +∞)[1+(1)/((-1)(n+1))]^([-n-1](-1))[1+(1)/((-1)(n+1))]^(-1)

    lim_(n → +∞)[1+(1)/((-1)(n+1))]^([-n-1])^(-1)[1+(1)/((-1)(n+1))]^(-1) = e^(-1)·1^(-1) = (1)/(e)

    Tornando al limite del rapporto, troviamo che vale

    lim_(n → +∞)(a_(n+1))/(a_n) = (2^3)/(e) > 1

    e dunque per il criterio del rapporto la successione diverge.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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