Esercizio su polinomi e classi di resto

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Ciao! In questo esercizio sui polinomi con coefficienti nelle classi di resto ci sono alcune richieste a cui ho risposto ma non sono sicura, potreste correggerle per favore?

 

Si elenchino gli elementi di \{t^2\ |\ t\in\mathbb{Z}_{13}\}

 

In \mathbb{Z}_{13}[x], il polinomio x^2+2 è irriducibile? x^2+4 è irriducibile?

 

Per ogni intero a, sia f_a=(x^2+2)(x^2+4)(x^2+7a) \in \mathbb{Z}_{13}[x]. Trovare se possibile:

 

1) un a\in\mathbb{X} tale che [6]_{13} sia una radice di f_a;

 

2) un a \in\mathbb{Z} tale che [3]_{13} non sia una radice di f_a;

 

3) un a\in\mathbb{Z} tale che f_a sia irriducibile in Z13[x];

 

 

Ho provato a risolverlo e mi viene: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Poi:

 

x2-2 è irriducibile mentre l'altro è riducibile e ha radice x=3

 

1) a=12

2) a=2

3) non ho saputo farlo.

Domanda di Giulialg88

 
Soluzioni

  • Ciao Giulia, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Eccoci:

    "0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144"

    Ok

    "poi x2-2 è irriducibile mentre l'altro è riducibile e ha radice x=3"

    Ok

    "1) a=12"

    Ok

    "2) a=2"

    Ok

    "3) non ho saputo farlo"

    In questo caso devi scegliere a in modo tale che il polinomio

    x^2+7a

    non sia riducibile. Un modo bruttino, ma efficace, consiste nel provare con le varie classi di resto di Z_{13}.

    Se hai dubbi o difficoltà, fammi sapere.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • per a=4 ottengo x^2+7a=x^2+28=x^2+2 e come abbiamo detto prima è irriducibile, va bene così?

    Risposta di Giulialg88

  • Ok ;)

    Risposta di Omega
 
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