Soluzioni
  • Eccomi, ciao Katia.i il tempo di scrivere la risposta e sono da te :)

    Risposta di Ifrit
  • y=\log(x-x^2)

    Cominciamo col dominio. Abbiamo una funzione logaritmica, dobbiamo perciò pretendere che il suo argomento sia maggiore di 0.

    x-x^2>0 

    se e solo se:

    0

    x<1

    \mbox{dom}= (0,1)

    I limiti agli estremi del dominio:

    \lim_{x\to 0^+}\log(x-x^2)=-\infty

    Questo ci dice che x= 0 è un asintoto verticale destro per la funzione.

     

    \lim_{x\to 1^-}\log(x-x^2)=-\infty

    Questo invece ci dice che x=1 è un asintoto verticale sinitro per la funzione.

     

    Non si hanno asintoti orizzontali, ne asintoti obliqui. Lo possiamo asserire perché x non può tendere a + o - infinito (il dominio ce lo impedisce). Per essere formali, possiamo dire che + o - infinito non sono punti di accumulazione per il dominio della funzione. Non possiamo quindi indagare il comportamento della funzione all'infinito.

     

    Intersezione con gli assi.

    Sicuramente non vi è intersezione con l'asse Y, infatti lo zero non appartiene al dominio.

    Verifichiamo ora se vi sono intersezioni con l'asse X:

    \log(x-x^2)=0\iff x-x^2=1\iff -x^2+x-1=0

    Calcoliamo il discriminante:

    \Delta= 1-4=-3<0

    L'equazione -x^2+x-1=0 non ha soluzioni quindi nemmeno l'equazione \log(x-x^2)=0

    ha soluzioni. Possiamo concludere quindi che la funzione non interseca l'asse X

    Saluti :)

    Risposta di Ifrit
  • grazie :)

    Risposta di katia.i
  • grazie :) sai dirmi se c sn massimi e minimi?

    Risposta di katia.i
  • Ops, scusami per il ritardo, mi sono perso la tua domanda aggiuntiva. il tempo di fare i conti e ti dirò tutto :)

    Risposta di Ifrit
  • f(x)= \log(x-x^2)

     

    Per verificare la presenza di punti di massimo o di minimo andremo a studiare gli zeri della derivata prima ed il suo segno:

    f'(x)= \frac{1-2x}{x-x^2}\quad\quad x\in (0,1)

    Ricorda infatti che la derivata prima va studiata nel dominio della funzione, altrimenti escono risultati incomprensibili.

    Studiamo gli zeri della derivata prima:

    f'(x)= 0\iff \frac{1-2x}{x-x^2}=0\iff 1-2x = 0

    La derivata prima si annulla solo per x= \frac{1}{2}, appartiene al dominio quindi siamo a posto.

    Il segno della derivata prima dipende esclusivamente dal segno del numeratore. Osserva infatto che nel dominio, il denominatore è sempre positivo ( è l'argomento del logaritmo xD)

    Il segno del numeratore è facile da valutare:

    1-2x>0

    se e solo se 

    x<\frac{1}{2} 

    quindi la derivata prima è positiva per x<\frac{1}{2},  la funzione originaria è crescente.

    Per x>\frac{1}{2}, la derivata prima è negativa, quindi la funzione originaria è decrescente.

    Da ciò capiamo che x=\frac{1}{2} è un punto di massimo per la funzione, il massimo vale:

    \log\left\(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right\)= \log\frac{1}{4}= -\log(4)

    Risposta di Ifrit
 
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