Intersezioni con gli assi di una funzione logaritmica

Vorrei sapere come calcolare le intersezioni con gli assi per questa funzione logaritmica, e se non chiedo troppo volevo chiedervi come trovare gli eventuali asintoti della funzione...grazie per la disponibilità!

y = log(x-x^2)

Domanda di katia.i
Soluzioni

Eccomi, ciao Katia.i il tempo di scrivere la risposta e sono da te :)

Risposta di Ifrit

y = log(x-x^2)

Cominciamo col dominio. Abbiamo una funzione logaritmica, dobbiamo perciò pretendere che il suo argomento sia maggiore di 0.

x-x^2 > 0 

se e solo se:

0

x<1

dom = (0,1)

I limiti agli estremi del dominio:

lim_(x → 0^+)log(x-x^2) = -∞

Questo ci dice che x = 0 è un asintoto verticale destro per la funzione.

lim_(x → 1^-)log(x-x^2) = -∞

Questo invece ci dice che x = 1 è un asintoto verticale sinitro per la funzione.

Non si hanno asintoti orizzontali, ne asintoti obliqui. Lo possiamo asserire perché x non può tendere a + o - infinito (il dominio ce lo impedisce). Per essere formali, possiamo dire che + o - infinito non sono punti di accumulazione per il dominio della funzione. Non possiamo quindi indagare il comportamento della funzione all'infinito.

Intersezione con gli assi.

Sicuramente non vi è intersezione con l'asse Y, infatti lo zero non appartiene al dominio.

Verifichiamo ora se vi sono intersezioni con l'asse X:

log(x-x^2) = 0 ⇔ x-x^2 = 1 ⇔ -x^2+x-1 = 0

Calcoliamo il discriminante:

Δ = 1-4 = -3 < 0

L'equazione -x^2+x-1 = 0 non ha soluzioni quindi nemmeno l'equazione log(x-x^2) = 0

ha soluzioni. Possiamo concludere quindi che la funzione non interseca l'asse X

Saluti :)

Risposta di Ifrit

grazie :)

Risposta di katia.i

grazie :) sai dirmi se c sn massimi e minimi?

Risposta di katia.i

Ops, scusami per il ritardo, mi sono perso la tua domanda aggiuntiva. il tempo di fare i conti e ti dirò tutto :)

Risposta di Ifrit

f(x) = log(x-x^2)

Per verificare la presenza di punti di massimo o di minimo andremo a studiare gli zeri della derivata prima ed il suo segno:

f'(x) = (1-2x)/(x-x^2) x∈ (0,1)

Ricorda infatti che la derivata prima va studiata nel dominio della funzione, altrimenti escono risultati incomprensibili.

Studiamo gli zeri della derivata prima:

f'(x) = 0 ⇔ (1-2x)/(x-x^2) = 0 ⇔ 1-2x = 0

La derivata prima si annulla solo per x = (1)/(2), appartiene al dominio quindi siamo a posto.

Il segno della derivata prima dipende esclusivamente dal segno del numeratore. Osserva infatto che nel dominio, il denominatore è sempre positivo ( è l'argomento del logaritmo xD)

Il segno del numeratore è facile da valutare:

1-2x > 0

se e solo se 

x < (1)/(2) 

quindi la derivata prima è positiva per x < (1)/(2),  la funzione originaria è crescente.

Per x > (1)/(2), la derivata prima è negativa, quindi la funzione originaria è decrescente.

Da ciò capiamo che x = (1)/(2) è un punto di massimo per la funzione, il massimo vale:

log ((1)/(2)-(1)/(4)) = log(1)/(4) = -log(4)

Risposta di Ifrit

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