Dubbio sul grafico di una funzione e asintoto obliquo

Ciao, ho un dubbio con l'asintoto obliquo nel grafico di una funzione, ho fatto tutto ma come sempre rimango nei limiti, potresti aiutarmi? Per favore. :)

y= (x-1)e^(-1/x) 

Nei limiti ho trovato che c'è la possibilità di avere un asintoto obliquo ma potete spiegarmi i passi? Non riesco a farlo.

Mi servirebbero anche gli altri passaggi per vedere se quello che ho fatto è giusto, grazie mille in anticipo!

Domanda di nea16
Soluzioni

Eccomi, ciao nea16. Il tempo di ragionarci su e ti rispondo :)

Risposta di Ifrit

f(x) = (x−1)e^(−(1)/(x))

Affinché vi siano asintoti obliqui, devono essere verificate le seguenti condizioni:

Asintoto obliquo sinistro:

• lim_(x → −∞) (x−1)e^(−(1)/(x)) = ±∞

Se la prima condizione è verificata allora procediamo con la seconda, cioè deve esistere finito il limite:

• lim_(x → −∞)((x−1)e^(−(1)/(x)))/(x) = m ne 0

L'ultima condizione è:

• lim_(x → −∞)(x−1)e^(−(1)/(x))−m x = q

m e q rappresentano rispettivamente il coefficiente angolare e il termine noto dell'asintoto obliquo sinitro. 

Gli stessi procedimenti vanno fatti per l'asintoto obliquo destro, in questo caso però il limite tende a + infinito.

Iniziamo: 

•lim_(x → −∞) (x−1)e^(−(1)/(x)) = −∞

La prima condizione è soddisfatta.

• lim_(x → −∞)((x−1)e^(−(1)/(x)))/(x) = lim_(x → −∞)(x−1)/(x) lim_(x → −∞)e^(−(1)/(x)) = 1*1 = 1

La seconda condizione è soddisfatta, sappiamo che il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo sinistro è 1.

lim_(x → −∞)(x−1)e^(−(1)/(x))−x = q

Mettiamo in evidenza x

lim_(x → −∞)x (((x−1)e^(−(1)/(x)))/(x)−1) =

lim_(x → −∞)((((x−1)e^(− frac1x))/(x)−1))/((1)/(x))

Viene in nostro soccorso de l'Hopital, deriva separatamente numeratore e denominatore. Otterrai:

lim_(x → −∞)((e^(− frac1x)(−1+2x))/(x^3))/(−(1)/(x^2)) =

lim_(x → −∞)(e^(−(1)/(x))(1−2x))/(x) = −2

L'equazione dell'asintoto obliquo sinistro è quindi:

y = x−2

Per l'asintoto obliquo destro dovrai procedere allo stesso modo. Provaci, se non ti torna, fai un fischio - e sappi che puoi controllare l'esattezza dei tuoi risultati con il tool per disegnare il grafico di funzioni online. :)

Risposta di Ifrit

Adesso ho capito ,  grazie :) 

Risposta di nea16

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