Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to0^{+}}\tan(x)^{\sin(3x)}=(\bullet)

    si presenta nella forma indeterminata [0^{0}] e può essere sciolta applicando l'identità derivante dalla definizione di logaritmo

    h(x)^{k(x)}=e^{k(x)\log(h(x))} \ \ \ \mbox{per}\ h(x)>0

    Essa ci permette di esprimere il limite nella forma equivalente

    \\ (\bullet)=\lim_{x\to0^{+}}e^{\sin(3x)\log(\tan(x))}= \\ \\ =e^{\lim_{x\to0^{+}}\sin(3x)\log(\tan(x))}

    Per il momento lasciamo da parte la base e e studiamo il comportamento dell'esponente al tendere di x\to 0, ossia analizziamo il limite

    \lim_{x\to 0^{+}}\sin(3x)\log(\tan(x))=(\bullet\bullet)

    Il limite notevole del seno

    \lim_{h(x)\to 0}\frac{\sin(h(x))}{h(x)}=1

    consente di costruire la stima asintotica

    \sin(h(x))\sim_{h(x)\to 0}h(x)

    valida ogniqualvolta che l'argomento del seno tende a zero. Applicata al caso in esame permette di scrivere la relazione

    \sin(3x)\sim_{x\to 0}3x

    Il limite notevole della tangente

    \lim_{h(x)\to 0}\frac{\tan(h(x))}{h(x)}=1

    inoltre possiamo costruire la seguente equivalenza

    \tan(h(x))\sim_{h(x)\to 0}h(x)

    Grazie ad essa possiamo scrivere la relazione 

    \tan(x)\sim_{x\to0}x

    Il principio di sostituzione dei termini equivalenti consente di esprimere il limite iniziale nella forma equivalente

    \\ (\bullet\bullet)=\lim_{x\to0^{+}}3x\log(x)=\\ \\ = 3\lim_{x\to0^{+}}x\log(x)=0

    In definitiva, poiché l'esponente tende a 0, possiamo asserire che il limite iniziale è 1

    \lim_{x\to0^{+}}e^{\sin(3x)\log(\tan(x))}=e^{0}=1

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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