Soluzioni
  • Il calcolo del limite

    \lim_{x\to -\infty}\left[\sqrt{x^2+2x+\sin^2(x)}+x+3\right]

    prevede di usare il teorema dei carabinieri, o teorema del confronto: la parte più complicata dell'esercizio sarà quella di trovare una funzione maggiorante e una funzione minorante di

    f(x)=\sqrt{x^2+2x+\sin^2(x)}+x+3

    in un opportuno intorno di -\infty. Per raggiungere il nostro obiettivo, partiamo dalla doppia disuguaglianza che coinvolge il quadrato del seno.

    0\le\sin^2(x)\le 1 \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}

    Aggiungiamo ai tre membri x^2+2x

    x^2+2x\le x^2+2x+\sin^2(x)\le x^2+2x+1

    e osserviamo che x^2+2x+1 è lo sviluppo del quadrato di binomio (x+1)^2

    x^2+2x\le x^2+2x+\sin^2(x)\le (x+1)^2

    Per x<-2 i tre membri sono certamente positivi, di conseguenza possiamo estrarre le rispettive radici quadrate senza invertire i versi delle disuguaglianze

    \sqrt{x^2+2x}\le\sqrt{x^2+2x+\sin^2(x)}\le\sqrt{(x+1)^2}

    In accordo con la definizione di valore assoluto \sqrt{(x+1)^2} coincide con |x+1|, per cui la doppia relazione diventa

    \sqrt{x^2+2x}\le\sqrt{x^2+2x+\sin^2(x)}\le |x+1|

    Non perdiamo la condizione x<-2, sotto la quale |x+1|=-x-1, perciò scriviamo:

    \sqrt{x^2+2x}\le\sqrt{x^2+2x+\sin^2(x)}\le -x-1 \ \ \ \forall x<-2

    Sommiamo inoltre i tre membri per x+3, così da ricavare

    \\ \sqrt{x^2+2x}+x+3\le\sqrt{x^2+2x+\sin^2(x)}+x+3\le -x-1+x+3 \\ \\ \sqrt{x^2+2x}+x+3\le\sqrt{x^2+2x+\sin^2(x)}+x+3\le 2

    per ogni x<-2.

    Perfetto! Abbiamo trovato l'espressione di una funzione minorante di f(x)

    g(x)=\sqrt{x^2+2x}+x+3

    e quella della funzione maggiorante

    h(x)=2

    Chiaramente il limite di h(x) per x\to -\infty è uguale a 2 e se riusciamo a dimostrare che anche il limite per x\to -\infty di g(x) è uguale a 2, il teorema del confronto garantisce che anche f(x) tende a 2, per x\to -\infty.

    Impostiamo quindi il limite

    \lim_{x\to-\infty}[\sqrt{x^2+2x}+x+3]=

    e risolviamolo per razionalizzazione. Moltiplichiamo e dividiamo per \sqrt{x^2+2x}-(x+3)

    =\lim_{x\to-\infty}\frac{(\sqrt{x^2+2x}+x+3)(\sqrt{x^2+2x}-(x+3))}{\sqrt{x^2+2x}-(x+3)}=

    e sviluppiamo il prodotto tra la somma e la differenza

    \\ =\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+2x-(x+3)^2}{\sqrt{x^2+2x}-(x+3)}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to -\infty}\frac{-4x-9}{\sqrt{x^2+2x}-(x+3)}=

    Mettiamo in evidenza x^2 all'interno del radicando e sfruttiamo a dovere le proprietà dei radicali

    \\ =\lim_{x\to -\infty}\frac{-4x-9}{\sqrt{x^2\left(1+\tfrac{2}{x}\right)}-x-3}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to -\infty}\frac{-4x-9}{\sqrt{x^2}\sqrt{1+\tfrac{2}{x}\right}-x-3}=

    In ogni intorno di -\infty contenuto in (-\infty,-2), il radicale \sqrt{x^2} coincide con il valore assoluto di x, che a sua volta è uguale a -x, per cui il limite diventa

    =\lim_{x\to -\infty}\frac{-4x-9}{-x\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}-x-3}=

    A questo punto mettiamo in evidenza x sia al numeratore che al denominatore

    \\ =\lim_{x\to -\infty}\frac{x\left(-4-\frac{9}{x}\right)}{x\left[-\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}-1-\tfrac{3}{x}\right]}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to-\infty}\frac{-4-\tfrac{9}{x}}{-\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}-1-\tfrac{3}{x}}

    e osserviamo che per x\to -\infty

    -\frac{9}{x}\to 0 \ \ \ ; \ \ \ -\frac{3}{x}\to 0 \ \ \ ; \ \ \ -\sqrt{1+\frac{1}{x}}\ \to \ -1

    pertanto

    \lim_{x\to-\infty}\frac{-4-\tfrac{9}{x}}{-\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}-1-\tfrac{3}{x}}=\frac{-4}{-2}=2

    Ce l'abbiamo fatta! Abbiamo dimostrato che la funzione di cui vogliamo calcolare il limite è compresa tra due funzioni che tendono a 2 per x\to -\infty: per il teorema dei carabinieri, possiamo finalmente concludere che:

    \lim_{x\to -\infty}\left[\sqrt{x^2+2x+\sin^2(x)}+x+3\right]=2

    Finito!

    Risposta di Ifrit
 
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