Soluzioni
  • Il metodo di eliminazione di Gauss consente di ridurre una matrice quadrata A in una matrice triangolare superiore, il cui determinante è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale. Tuttavia alcune mosse dell'algoritmo di riduzione cambiano il segno o il modulo del determinante, dunque occorre prestare la massima attenzione.

    Ricordiamo quali sono le mosse di Gauss:

    - scambio di due righe;

    - prodotto di una riga per uno scalare non nullo;

    - sostituzione di una riga con quella che si ottiene sommandole il multiplo di un'altra.

    Vediamo quale effetto ha ciascuna mossa nel calcolo del determinante:

    - ogni scambio tra righe ne cambia il segno;

    - se si moltiplica una riga per uno scalare k \neq 0, il determinante di A è uguale al rapporto tra il determinante della matrice ridotta e k;

    - la sostituzione di una riga con quella ottenuta sommando a essa il multiplo di un'altra non ha alcun effetto sul determinante.


    Prendiamo la matrice

    A=\begin{pmatrix}0&1&2 \\ 1&2&3 \\ 1&2&-1\end{pmatrix}

    e calcoliamone il determinante con il metodo di Gauss.

    Riduciamo A in una matrice a gradini. Il primo elemento della prima riga è zero, dunque sostituiamo la prima riga con la seconda

    A'=\begin{pmatrix}1&2&3 \\ 0&1&2 \\ 1&2&-1\end{pmatrix}

    Dobbiamo ora annullare gli elementi della prima colonna di A' sotto a'_{11}.

    a'_{21}=0, e non dobbiamo far nulla.

    a'_{31}=1, e per renderlo nullo sostituiamo la terza riga con la seguente combinazione

    \\ R_3 \ \to \ -R_1+R_3 = \\ \\ = -\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&2&-1\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}-1&-2&-3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&2&-1\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&0&-4\end{pmatrix}

    La matrice risultante dalla sostituzione è la matrice triangolare superiore

    A''=\begin{pmatrix}1&2&3 \\ 0&1&2 \\ 0&0&-4\end{pmatrix}

    Calcoliamone il determinante come prodotto degli elementi della diagonale principale

    \\ \mbox{det}(A'')=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&2&3 \\ 0&1&2 \\ 0&0&-4\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = 1 \cdot 1 \cdot (-4) = -4

    Durante la riduzione a scala abbiamo effettuato uno scambio di righe, dunque il determinante di A è l'opposto del determinante di A'':

    \mbox{det}(A)=-\mbox{det}(A'')=-(-4)=4

    L'esercizio è concluso, ma nulla vieta di controllare la correttezza del risultato con gli usuali metodi sul calcolo del determinante, quali la regola di Sarrus o gli sviluppi di Laplace.

    Risposta di Galois
 
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